Usando resíduos calcule as seguintes integrais
integral-infty^infty (x+1) cos xx^2+4 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^infty (x+1)cos xx^2+4x+5,dx
usando o teorema dos resíduos. Para isso vamos reescrever cos x como a parte real de e^ix e definir a função complexa
f(z)=(z+1)e^izz^2+4z+5

Passo 2

Note que
integral-infty^infty (x+1)cos xx^2+4x+5,dx =Reintegral-infty^infty (x+1)e^ixx^2+4x+5,dx
Chamemos
I=integral-infty^inftyf(x),dx
Para calcular I, consideramos o contorno formado pelo segmento real de -R a R e o semicírculo GammaR de raio R no semiplano superior, e faremos Rtoinfty.

Passo 3

Os polos de
f(z)=(z+1)e^izz^2+4z+5
vêm das raízes de z^2+4z+5=0, i.e.
z=-2pm i
No semiplano superior está apenas
z0=-2+i
Além disso, em GammaR temos z=Re^itheta com thetain[0,pi], de modo que
l|e^izr|=e^-Rsinthetato0 quando Rtoinfty. Logo a contribuição do semicírculo some.

Passo 4

Pelo teorema dos resíduos,

Passo 5

Calculamos o resíduo em . Como o polo é simples,
Aqui e , portanto
Assim

Passo 6

Nosso integral original é Re(I). Escrevendo
I=pi e^-1(-1+i)(cos2-isin2)
e multiplicando
(-1+i)(cos2-isin2) =(-cos2+sin2)+i(cos2+sin2),
vemos que
integral-infty^infty(x+1)cos xx^2+4x+5,dx =Re(I) =pi e^-1(sin2-cos2)

Resposta

boxed;integral-infty^infty(x+1)cos xx^2+4x+5,dx =pi e^-1l(sin2-cos2r);

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