Usando resíduos calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. Para isso vamos reescrever
como a parte real de
e definir a função complexa
Passo 2
Note que
Chamemos
Para calcular
, consideramos o contorno formado pelo segmento real de
a
e o semicírculo
de raio
no semiplano superior, e faremos
.
Passo 3
Os polos de
vêm das raízes de
, i.e.
No semiplano superior está apenas
Além disso, em
temos
com
, de modo que
quando
Rtoinfty . Logo a contribuição do semicírculo some.
Passo 4
Pelo teorema dos resíduos,
Passo 5
Calculamos o resíduo em
. Como o polo é simples,
Aqui
e
, portanto
Assim
Passo 6
Nosso integral original é
Re(I) . Escrevendo
e multiplicando
vemos que