Usando resíduos calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o método dos resíduos. Vamos reescrever essa integral de senos como a parte imaginária de uma integral com exponencial complexa e aplicar o teorema dos resíduos.
Passo 2
Definimos a integral complexa
Como
, a integral original é
Passo 3
Para avaliar
usamos o contorno que vai ao longo do eixo real de
a
e fecha por um semicírculo
no semiplano superior. Como
, em
com
vale
de modo que a contribuição no semicírculo tende a zero quando
.
Passo 4
Procuramos os polos de
As raízes de
são
No semiplano superior ficam
Passo 5
Cada polo é simples e a derivada do denominador em
é
. Logo,
Assim a soma das contribuições no semiplano superior é
Passo 6
Pelo teorema dos resíduos, a integral no eixo real
vale
Fatorando
e usando
, resulta
Passo 7
Como a integral original é
, temos