Usando resíduos calcule as seguintes integrais
integral-infty^infty x^3 sin a xx^4+4 d x, a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-infty^inftyx^3,sin(a x)x^4+4,dx, a>0
usando o método dos resíduos. Vamos reescrever essa integral de senos como a parte imaginária de uma integral com exponencial complexa e aplicar o teorema dos resíduos.

Passo 2

Definimos a integral complexa
I=integral-infty^inftyx^3e^i a xx^4+4,dx
Como sin(a x)=Iml(e^i a xr), a integral original é
integral-infty^inftyx^3sin(a x)x^4+4,dx =Im(I)

Passo 3

Para avaliar I usamos o contorno que vai ao longo do eixo real de -R a R e fecha por um semicírculo CR no semiplano superior. Como a>0, em z=x+iy com y>0 vale
|e^i a z| = e^-a y,
de modo que a contribuição no semicírculo tende a zero quando Rtoinfty.

Passo 4

Procuramos os polos de
f(z)=z^3e^i a zz^4+4
As raízes de z^4+4=0 são
zk = raiz2,e^i(pi/4 + kpi/2), k=0,1,2,3
No semiplano superior ficam
z1 = raiz2,e^ipi/4 = 1+i, z2 = raiz2,e^i3pi/4 = -1+i

Passo 5

Cada polo é simples e a derivada do denominador em é . Logo,
Assim a soma das contribuições no semiplano superior é

Passo 6

Pelo teorema dos resíduos, a integral no eixo real vale
Fatorando e usando , resulta

Passo 7

Como a integral original é Im(I), temos
integral-infty^inftyx^3sin(a x)x^4+4,dx =Iml(pi i,e^-acos(a)r) =pi,e^-acos(a)

Resposta

pi,e^-acos(a)

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