Usando resíduos calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos. Aqui o conteúdo principal é transformar a integral real numa integral no círculo unitário
e somar os resíduos dos polos internos.
Passo 2
Observamos que a função
satisfaz
. Logo
Definimos
de modo que
.
Passo 3
Fazemos
,
,
Então
Passo 4
Os polos de
dentro de
são
-
(polo de ordem 2) - as raízes de
, que são e . Destas, só está dentro do círculo.
Passo 5
Residue em
(polo simples). Se
, então
e
Residue em
(polo de ordem 2). Fazendo a série de Laurent de
em torno de
até o termo
, encontra-se
Passo 6
Pela soma dos resíduos,
E pelo teorema dos resíduos,
Portanto