Usando resíduos calcule as seguintes integrais
integral0^pi cos (2 theta)1+14-cos theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^pi cos(2theta)1+tfrac14-costheta,dtheta
usando o teorema dos resíduos. Aqui o conteúdo principal é transformar a integral real numa integral no círculo unitário z=e^itheta e somar os resíduos dos polos internos.

Passo 2

Observamos que a função
f(theta)=cos(2theta)54-costheta
satisfaz f(theta)=f(2pi-theta). Logo
integral0^pif(theta),dtheta =12integral0^2pif(theta),dtheta
Definimos
J=integral0^2picos(2theta)tfrac54-costheta,dtheta,
de modo que I=tfrac12J.

Passo 3

Fazemos z=e^itheta, ,dtheta=dziz,
costheta=z+z^-12, cos(2theta)=z^2+z^-22
Então
J=oint|z|=1 tfrac12(z^2+z^-2)tfrac54-tfracz+z^-12,dziz =oint|z|=12(z^4+1)i,z^2l(-2z^2+5z-2r),dz

Passo 4

Os polos de
g(z)=(z^4+1)z^2(-2z^2+5z-2)
dentro de |z|<1 são
  1. z=0 (polo de ordem 2)
  2. as raízes de -2z^2+5z-2=0, que são z=2 e z=tfrac12. Destas, só z=tfrac12 está dentro do círculo.

Passo 5

Residue em (polo simples). Se , então e
Residue em (polo de ordem 2). Fazendo a série de Laurent de em torno de até o termo , encontra-se

Passo 6

Pela soma dos resíduos,
E pelo teorema dos resíduos,
Portanto

Resposta

pi3

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