Usando o resultado do problema anterior, calcule
(a) lim n +infty n cdot(a^1 / n-1) (sendo a>0, a neq 1 )
(b) lim x 0 e^a x-1x
Sugestão. lim x 0 e^a x-1x=lim x 0(a cdot e^a x-1a x)=a cdot lim x 0 e^a x-1a x
(c) lim x 0 e^a x-e^b xx
Sugestão. lim x 0 e^ax-e^bxx=lim x 0 (e^ax-1)-(e^bx-1)x
(d) lim x 0 e^a x-1e^b x-1

Passo 1

O enunciado pede quatro limites envolvendo exponenciais, partindo do resultado já conhecido
limuto0e^u-1u=1
Vamos usar manipulações algébricas e mudança de variável para reduzir cada caso a esse limite básico.

Passo 2

Para calcular
limnto+inftynl(a^1/n-1r)
escrevemos a^1/n=e^(ln a)/n. Então
nl(a^1/n-1r) =nl(e^(ln a)/n-1r) =e^(ln a)/n-1(ln a)/n,ln a
Como (ln a)/nto0 quando nto+infty, o quociente tende a 1, e o limite vale ln a.

Passo 3

Para
limxto0e^a x-1x
usamos a sugestão:
e^a x-1x =acdote^a x-1a x
Quando xto0, temos e^a x-1a xto1, logo o limite é a.

Passo 4

Para
limxto0e^a x-e^b xx
escrevemos
e^a x-e^b xx =l(e^a x-1r)-l(e^b x-1r)x =e^a x-1x-e^b x-1x
Cada parcela tende respectivamente a a e a b, então o limite é a-b.

Passo 5

Para
limxto0e^a x-1e^b x-1
podemos usar expansão de primeira ordem ou reescrever
e^a x-1e^b x-1 =tfrace^a x-1xtfrace^b x-1x
e cada quociente tende a a e a b. Logo o limite é tfracab.

Resposta

(a) ln(a)
(b) a
(c) a - b
(d) ab

Exercícios relacionados