(a) Verifique se: (1,-2,1) é um campo de força conservativo. (b) Ache o potencial e © o trabalho realizado para mover um objeto entre os pontos 3,1,4 e ( V=-x^2 y-x z^3 ). Resposta: (a) 0 campo é conservativo; (b) W=202 J; ©

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um campo de força
F(x,y,z) = (2xy + z^3),hatimath ;+; x^2,hatjmath ;+; 3xz^2,hat k
(a) Tem que ver se esse campo é conservativo;
(b) Se for, achar a função potencial tal que ;
© Calcular o trabalho para ir do ponto até .
Conteúdo: campo vetorial conservativo, condição de curl zero, integração para achar potencial e uso da relação trabalho = . Vamos precisar saber derivadas parciais, a definição de rotacional e a propriedade de campos conservativos em domínios sem “buraco”.

Passo 2

Verificar se é conservativo significa checar se o rotacional (curl) de nablatimes F = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz 2xy+z^3 & x^2 & 3xz^2 é zero:
Calculemos componente a componente:
  • Componente em : .
  • Componente em : .
  • Componente em : .
Logo . Num domínio todo (que é simplesmente-conexo), isso garante que é conservativo.

Passo 3

Como F = -nabla V Longrightarrow 2xy + z^3 = -dfracpartial Vpartial x, x^2 = -dfracpartial Vpartial y, 3xz^2 = -dfracpartial Vpartial z é conservativo, existe -partial Vpartial x = 2xy+z^3 ;Longrightarrow; partial Vpartial x = -2xy - z^3 ;Longrightarrow; V(x,y,z) = -x^2y - x z^3 + g(y,z) tal que
-partial Vpartial y = x^2 ;Longrightarrow; partial Vpartial y = -x^2 ;Longrightarrow; partialpartial y[-x^2y - xz^3 + g(y,z)] = -x^2
Integramos a primeira:
-partial Vpartial z = 3xz^2 ;Longrightarrow; partial Vpartial z = -3xz^2 ;Longrightarrow; partialpartial z[-x^2y - xz^3 + h(z)] = -3xz^2
Agora usamos a condição em boxedV(x,y,z) = -,x^2y ;-; x,z^3 :
que dá , logo e não depende de , só de . Chama .
Por fim a condição em :
que dá , logo . Podemos tomar constante zero.
Portanto

Passo 4

Trabalho de W = integralA^B Fcdot dr = V(A) - V(B) num campo conservativo W = V(A)-V(B) = 1 - (-201) = 202;J é
Calculemos:
.
.
Logo

Resposta

(a) é conservativo.
(b) .
© Trabalho J.

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