Conteúdo: campo vetorial conservativo, condição de curl zero, integração para achar potencial e uso da relação trabalho = . Vamos precisar saber derivadas parciais, a definição de rotacional e a propriedade de campos conservativos em domínios sem “buraco”.
Passo 2
Verificar se é conservativo significa checar se o rotacional (curl) de é zero:
Calculemos componente a componente:
Componente em : .
Componente em : .
Componente em : .
Logo . Num domínio todo (que é simplesmente-conexo), isso garante que é conservativo.
Passo 3
Como F = -nabla V Longrightarrow 2xy + z^3 = -dfracpartial Vpartial x, x^2 = -dfracpartial Vpartial y, 3xz^2 = -dfracpartial Vpartial z é conservativo, existe -partial Vpartial x = 2xy+z^3 ;Longrightarrow; partial Vpartial x = -2xy - z^3 ;Longrightarrow; V(x,y,z) = -x^2y - x z^3 + g(y,z) tal que
-partial Vpartial y = x^2 ;Longrightarrow; partial Vpartial y = -x^2 ;Longrightarrow; partialpartial y[-x^2y - xz^3 + g(y,z)] = -x^2
Integramos a primeira:
-partial Vpartial z = 3xz^2 ;Longrightarrow; partial Vpartial z = -3xz^2 ;Longrightarrow; partialpartial z[-x^2y - xz^3 + h(z)] = -3xz^2
Agora usamos a condição em boxedV(x,y,z) = -,x^2y ;-; x,z^3 :
que dá , logo e não depende de , só de . Chama .
Por fim a condição em :
que dá , logo . Podemos tomar constante zero.
Portanto
Passo 4
Trabalho de W = integralA^B Fcdot dr = V(A) - V(B) num campo conservativo W = V(A)-V(B) = 1 - (-201) = 202;J é