Usando a segunda lei de Newton, escreva a equação diferencial para o pêndulo simples. Calcule o seu período. Massa m, fio de compromento L e gravidade g.

Passo 1

O enunciado pede para usar a segunda lei de Newton para obter a equação diferencial do pêndulo simples de massa m suspensa por um fio de comprimento L em campo gravitacional g, e em seguida calcular o período das pequenas oscilações. Vamos precisar relacionar o torque da força peso com a aceleração angular.

Passo 2

Escolhendo como variável a deflexão angular \theta em relação à vertical, a componente tangencial da força peso é
F_{\text{t}} = -mg\sin\theta,
onde o sinal negativo indica que o torque tende a restaurar \theta para zero.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton na forma de torques, o momento de inércia da massa pontual em distância L é I=mL^2 e o torque resultante é \tau = F_{\text{t}}\,L. Logo,
I\,\ddot\theta = \tau \quad\Longrightarrow\quad mL^2\,\ddot\theta = -mgL\sin\theta.

Passo 4

Dividindo por mL, obtemos a equação diferencial não linear do pêndulo simples:
L\,\ddot\theta + g\sin\theta = 0.

Passo 5

Para pequenas oscilações usamos \sin\theta\approx\theta, o que transforma em um oscilador harmônico:
\ddot\theta + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
A solução tem frequência angular \omega = \sqrt{\tfrac{g}{L}}.

Passo 6

O período T das pequenas oscilações é dado por
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.

Resposta

Equação diferencial do pêndulo simples:
L\,\ddot\theta + g\sin\theta = 0.
Para pequenas oscilações, o período é
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.

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