Suponha um túnel hipotético cruzando a Terra e passando por seu centro. Descreva o movimento de um objeto solto da superfície da terra, neste túnel. Calcule a frequência de oscilação. A terra tem massa M , raio R .

Passo 1

O enunciado propõe um túnel reto que atravessa a Terra passando pelo centro. Temos massa da Terra M e raio R. Queremos descrever o movimento de um objeto solto da superfície dentro desse túnel e calcular sua frequência de oscilação. O conteúdo usado será a Lei da Gravitação Universal de Newton e o resultado de que, dentro de uma esfera de densidade uniforme, só a massa interna ao raio r contribui para a força sobre o corpo.

Passo 2

Para um ponto a distância r do centro ( r<R), a densidade da Terra é
\rho = \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}
e a massa interna até r é
M(r)=\rho\;\frac{4}{3}\pi r^3 = M\;\frac{r^3}{R^3}.
A força gravitacional que age sobre o objeto de massa m é
F(r)=-\frac{G\,M(r)\,m}{r^2} =-\frac{G\,M\,m}{R^3}\;r,
ou seja, uma força proporcional a r e apontando para o centro.

Passo 3

Pela Segunda Lei de Newton ( \sum F = m\,a) temos
m\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{G\,M\,m}{R^3}\;r \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{d^2r}{dt^2} + \frac{G\,M}{R^3}\,r = 0.
Essa é a equação de um movimento harmônico simples (MHS) de frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{G\,M}{R^3}}.

Passo 4

A frequência de oscilação f e o período T do MHS são
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{G\,M}{R^3}},
T = \frac{1}{f} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G\,M}}.

Resposta

f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{G\,M}{R^3}}.

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