Usando a sequência das somas parciais da série
verifique se a série converge ou diverge. Caso ela convirja, qual o seu valor?
Passo 1
O enunciado pede investigar a convergência da série
usando a sequência de somas parciais e, em caso de convergência, determinar seu valor.
Conteúdo: séries numéricas, frações parciais e soma telescópica.
usando a sequência de somas parciais e, em caso de convergência, determinar seu valor.
Conteúdo: séries numéricas, frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Expressar o termo geral como diferença telescópica via frações parciais. Procuramos
e
tais que
Multiplicando por
vem
Comparando coeficientes obtemos
e
. Logo
Passo 3
Calcular a soma parcial
. Substituindo a forma telescópica:
Todos os termos intermediários se cancelam, restando
Passo 4
Tomar o limite de
quando
:
Logo a série converge e seu valor é
.
Resposta
A série converge e
.