(2,0) Usando a sequência das somas parciais da série sumn=1^infty 2(n+1)(n+2) verifique se a série converge ou diverge. Caso ela convirja, qual o seu valor?

Passo 1

O enunciado pede investigar a convergência da série
sumn=1^infty 2(n+1)(n+2)
usando a sequência de somas parciais e, em caso de convergência, determinar seu valor.
Conteúdo: séries numéricas, frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Expressar o termo geral como diferença telescópica via frações parciais. Procuramos A e B tais que
2(n+1)(n+2) ;=;An+1+Bn+2
Multiplicando por (n+1)(n+2) vem
2 = A(n+2) + B(n+1)
Comparando coeficientes obtemos A=2 e B=-2. Logo
2(n+1)(n+2) = 2n+1 - 2n+2

Passo 3

Calcular a soma parcial sk = sumn=1^k 2(n+1)(n+2). Substituindo a forma telescópica:
sk = sumn=1^k l(tfrac2n+1 - tfrac2n+2r) = l(tfrac22-tfrac23r) + l(tfrac23-tfrac24r) + cdots + l(tfrac2k+1-tfrac2k+2r)
Todos os termos intermediários se cancelam, restando
sk = 22 - 2,k+2, = 1 - 2k+2

Passo 4

Tomar o limite de sk quando ktoinfty:
limktoinfty sk = limktoinftyl(1 - tfrac2k+2r) = 1
Logo a série converge e seu valor é 1.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty 2(n+1)(n+2) = 1.

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