Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4 casas decimais:

Passo 1

O enunciado pede para aproximar com 4 casas decimais a integral integral0^1/2 arctan(x^2),dx. O conteúdo envolve série de potências de arctan u e integração termo a termo, e vamos usar isso para obter uma série convergente para o integral.

Passo 2

Sabemos que a série de potências de arctan u é
arctan u = sumk=0^infty (-1)^k u^2k+12k+1

Passo 3

Fazendo u = x^2, temos
arctan(x^2) = sumk=0^infty (-1)^k x^4k+22k+1

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a 1/2:
integral0^1/2 x^4k+2,dx = [x^4k+34k+3]0^1/2 = (1/2)^4k+34k+3

Passo 5

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integral0^1/2 arctan(x^2),dx = sumk=0^infty (-1)^k (1/2)^4k+3(2k+1)(4k+3)

Passo 6

Vamos calcular os primeiros termos numericamente:
k=0:
T0=(1/2)^31cdot3=124approx0,0416666667,
k=1:
T1=-(1/2)^73cdot7=-12688approx-0,0003720238,
k=2:
T2=(1/2)^115cdot11=1112640approx0,0000088782,
k=3:
T3=-(1/2)^157cdot15approx-0,0000002906

Passo 7

Somando até k=2 já temos uma aproximação com erro menor que summ=2^infty|Tm|approx0,0000092<5times10^-5, garantindo quatro casas decimais corretas. A soma parcial é
S2=T0+T1+T2approx0,0416666667-0,0003720238+0,0000088782=0,0413035211

Passo 8

Arredondando para quatro casas decimais (casa dos 10^-4) obtemos 0{,}0413.

Resposta

0,0413

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