Usando o sistema massa-mola, mostre que a energia potencial é máxima quando a partícula está em seu deslocamento máximo.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Usando o sistema massa–mola, mostre que a energia potencial é máxima quando a partícula está em seu deslocamento máximo.”
Conteúdo: mecânica clássica, energia em Oscilador Harmônico Simples (OHS).
O que vamos precisar:
  1. Lei de Hooke (força elástica de uma mola).
  2. Definição de energia potencial elástica.
  3. Expressão do movimento harmônico simples, .

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Hooke: a mola exerce uma força
F = -,k,x
onde U(x) = -integral F,dx = -integral (-k,x),dx = integral k,x,dx é a constante da mola e é o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio.
Energia potencial elástica é definida por

Passo 3

Vamos integrar pra achar U(x) = integral k,x,dx = 12,k,x^2 + C :
boxedU(x) = 12,k,x^2
A constante escolhemos zero definindo . Então
Isso já mostra que, quanto maior , maior .

Passo 4

No OHS a posição varia no tempo como
x(t)=Acos(omega t),
sendo U(t)=12,k,[x(t)]^2 =12,k,A^2cos^2(omega t) a amplitude (deslocamento máximo). Então a energia potencial em função do tempo é
x(t)=pm A
Como varia entre 0 e 1, atinge seu valor máximo justamente quando , ou seja, quando

Resposta

A energia potencial elástica é dada por Umax=12,k,A^2 , logo é máxima quando é máximo, isto é, em . Seu valor máximo é

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