Usando “soma infinita de progressão geométrica” determine as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
0,345454545 \ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a dízima periódica 0,345454545\ldots e pede a fração geratriz. O conteúdo é soma infinita de progressão geométrica, e vamos usar a técnica de separar parte não periódica e parte periódica.

Passo 2

Escrevemos
0,3454545\ldots = 0,3 + 0,0454545\ldots
A primeira parcela 0,3 é a parte não periódica (um dígito), e a segunda parcela 0,0454545\ldots corresponde ao bloco periódico “45” que se repete.

Passo 3

A parte periódica pode ser vista como soma de uma PG de primeiro termo \dfrac{45}{10^{3}}=0,045
e razão \dfrac{1}{10^{2}}=\tfrac{1}{100}.
Logo,
0,0454545\ldots =0,045 + 0,045\cdot\frac{1}{100} + 0,045\cdot\frac{1}{100^{2}} + \cdots = \frac{0,045}{1-\tfrac{1}{100}} = 0,045\cdot\frac{100}{99} = \frac{45}{990} = \frac{1}{22}.

Passo 4

Somando com a parte não periódica, temos
x = 0,3 + \frac{1}{22} = \frac{3}{10} + \frac{1}{22} = \frac{3\cdot11 + 1\cdot5}{110} = \frac{33 + 5}{110} = \frac{38}{110} = \frac{19}{55}.

Resposta

\displaystyle \frac{19}{55}

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