Usando “soma infinita de progressão geométrica” determine as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
2,42353535 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para converter a dízima periódica 2,42353535\ldots em uma fração geratriz usando soma infinita de progressão geométrica. Vamos decompor esse número em parte inteira, parte decimal não periódica e parte decimal periódica, e em seguida somar tudo em forma de fração.

Passo 2

Seja
x = 2{,}42353535\ldots
Podemos separar x em três parcelas:
  1. A parte inteira 2.
  2. A parte decimal não periódica 0{,}42.
  3. A parte decimal periódica que começa a partir do terceiro algarismo decimal, isto é
0{,}00353535\ldots

Passo 3

Denotemos
S = 0{,}00353535\ldots
Repare que os dois primeiros dígitos após a vírgula em S são zeros, e a partir daí temos o bloco “35” se repetindo. Logo, S é uma série geométrica cuja primeira parcela é
a = 0{,}0035
e a razão é
r = 10^{-2} = 0{,}01
Para soma infinita de progressão geométrica com |r|<1, vale
S = \frac{a}{1-r} = \frac{0{,}0035}{1 - 0{,}01} = \frac{0{,}0035}{0{,}99}

Passo 4

Calculamos S como fração:
\frac{0{,}0035}{0{,}99} = \frac{35}{10000}\cdot\frac{1}{0{,}99} = \frac{35}{10000}\cdot\frac{100}{99} = \frac{35}{9900}.
Agora voltamos a x:
x = 2 + 0{,}42 + S = 2 + \frac{42}{100} + \frac{35}{9900}.

Passo 5

Para somar as frações, usamos denominador comum 9900:
2 = \frac{2\cdot 9900}{9900} = \frac{19800}{9900}, \quad 0{,}42 = \frac{42}{100} = \frac{42\cdot 99}{9900} = \frac{4158}{9900}.
Então
x = \frac{19800}{9900} + \frac{4158}{9900} + \frac{35}{9900} = \frac{19800 + 4158 + 35}{9900} = \frac{23993}{9900}.
Não há divisor comum maior que 1 entre 23993 e 9900, logo essa é a forma irredutível.

Resposta

2{,}42353535\ldots = \frac{23993}{9900}.

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