Usando “soma infinita de progressão geométrica” determine as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas:
Passo 1
O enunciado pede para converter a dízima periódica
em uma fração geratriz usando soma infinita de progressão geométrica. Vamos decompor esse número em parte inteira, parte decimal não periódica e parte decimal periódica, e em seguida somar tudo em forma de fração.
Passo 2
Seja
Podemos separar
em três parcelas:
- A parte inteira
. - A parte decimal não periódica
. - A parte decimal periódica que começa a partir do terceiro algarismo decimal, isto é
Passo 3
Denotemos
Repare que os dois primeiros dígitos após a vírgula em
são zeros, e a partir daí temos o bloco “35” se repetindo. Logo,
é uma série geométrica cuja primeira parcela é
e a razão é
Para soma infinita de progressão geométrica com
, vale
Passo 4
Calculamos
como fração:
Agora voltamos a
:
Passo 5
Para somar as frações, usamos denominador comum
:
Então
Não há divisor comum maior que 1 entre
e
, logo essa é a forma irredutível.