Usando substituição, calcule:
\int x e{x{2}} d x
\int x e{x{2}} d x
Passo 1
O problema pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A integral é indefinida (ou seja, precisamos de uma primitiva mais uma constante de integração
). - O integrando é
.
Passo 2
Vamos escolher um método: substituição (também chamada de mudança de variável). Motivo: dentro do expoente temos
e fora temos um fator
que parece relacionado à derivada de
. A técnica de substituição transforma a integral numa integral mais simples trocando
por uma nova variável
. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Fazemos a substituição
Agora calculamos a diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
(porque aparece isso no integrando):
Aqui
é uma nova variável que representa
e
é a diferença correspondente; essa relação nos permite trocar
por algo em
.
Passo 4
Substituímos na integral original: onde estava
colocamos
e onde estava
colocamos
. Assim
Fatorando a constante
para fora da integral,
Passo 5
Agora integramos em
. Sabemos que a primitiva de
é
(porque
). Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta para checar se voltamos ao integrando. Usando a regra da cadeia, para
temos
o que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 8
Dica para a prova: sempre procure padrões do tipo
ou
,
etc. Se encontrar, a substituição
normalmente simplifica muito. Exemplo análogo:
.