Usando substituição, calcule:
\int x e{x{2}} d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral indefinida
\int x e^{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A integral é indefinida (ou seja, precisamos de uma primitiva mais uma constante de integração C).
  • O integrando é x e^{x^{2}}.

Passo 2

Vamos escolher um método: substituição (também chamada de mudança de variável). Motivo: dentro do expoente temos x^{2} e fora temos um fator x que parece relacionado à derivada de x^{2}. A técnica de substituição transforma a integral numa integral mais simples trocando x por uma nova variável u. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x^{2}.
Agora calculamos a diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (porque aparece isso no integrando):
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Aqui u é uma nova variável que representa x^{2} e du é a diferença correspondente; essa relação nos permite trocar x\,dx por algo em u.

Passo 4

Substituímos na integral original: onde estava x\,dx colocamos \frac{1}{2}du e onde estava e^{x^{2}} colocamos e^{u}. Assim
\int x e^{x^{2}}\,dx = \int e^{u}\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Fatorando a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral,
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. Sabemos que a primitiva de e^{u} é e^{u} (porque \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}). Portanto
\frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u = x^{2}:
\frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a resposta para checar se voltamos ao integrando. Usando a regra da cadeia, para F(x)=\tfrac{1}{2}e^{x^{2}} temos
F'(x)=\frac{1}{2}e^{x^{2}}\cdot 2x = x e^{x^{2}},
o que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 8

Dica para a prova: sempre procure padrões do tipo f'(x) e^{f(x)} ou f'(x)\sin(f(x)), f'(x)\cos(f(x)) etc. Se encontrar, a substituição u=f(x) normalmente simplifica muito. Exemplo análogo: \int x\sin(x^{2})\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(x^{2})+C.

Resposta

\tfrac{1}{2}e^{x^{2}} + C

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