Usando substituição, calcule:
\int \frac{x}{1+x^{2}} d x
\int \frac{x}{1+x^{2}} d x
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral
usando o método da substituição. Informação dada: temos uma função racional simples, numerador
e denominador
. O enunciado já pede explicitamente “usando substituição”, então vamos aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Idea da substituição (aula curta): a substituição consiste em identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a, e então trocar essa parte por uma nova variável
. Isso transforma a integral numa forma mais simples. Aqui olhamos para o denominador
, que é uma boa candidata porque sua derivada é
, e o numerador tem um
. Portanto fazemos a escolha
Agora vamos relacionar
com
.
Passo 3
Calcule
: derivando ambos os lados em relação a
,
Isso nos dá a relação
Essa relação é crucial — substitui o pedaço
que aparece na integral.
Passo 4
Fazer a substituição na integral: substituímos
por
e
por
. Assim
Agora a integral ficou muito mais simples: é a integral da função
.
Passo 5
Integral da função
: conhecimento importante — a primitiva de
é o logaritmo natural. Em notação,
onde
é a constante de integração. Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 6
Voltar para a variável original
: substituímos
de volta. Observação:
para todo
, então
e podemos omitir as barras de valor absoluto se quisermos, mas usar
também está correto. Assim a primitiva final é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando
pelo teorema da cadeia,
que é exatamente o integrando. Portanto a solução está correta.