Usando substituição, calcule:
\int \frac{x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx
usando o método da substituição. Informação dada: temos uma função racional simples, numerador x e denominador 1+x^{2}. O enunciado já pede explicitamente “usando substituição”, então vamos aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Idea da substituição (aula curta): a substituição consiste em identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a, e então trocar essa parte por uma nova variável \,u. Isso transforma a integral numa forma mais simples. Aqui olhamos para o denominador \,1+x^{2}, que é uma boa candidata porque sua derivada é 2x, e o numerador tem um x. Portanto fazemos a escolha
u = 1+x^{2}.
Agora vamos relacionar du com dx.

Passo 3

Calcule du: derivando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(1+x^{2})\,dx = 2x\,dx.
Isso nos dá a relação
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Essa relação é crucial — substitui o pedaço x\,dx que aparece na integral.

Passo 4

Fazer a substituição na integral: substituímos 1+x^{2} por u e x\,dx por \tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
Agora a integral ficou muito mais simples: é a integral da função \frac{1}{u}.

Passo 5

Integral da função \frac{1}{u}: conhecimento importante — a primitiva de \frac{1}{u} é o logaritmo natural. Em notação,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Aplicando isso ao nosso caso:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C.

Passo 6

Voltar para a variável original x: substituímos u = 1+x^{2} de volta. Observação: \,1+x^{2}\ge 1 para todo x, então u>0 e podemos omitir as barras de valor absoluto se quisermos, mas usar |\cdot| também está correto. Assim a primitiva final é
\frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) pelo teorema da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\cdot 2x = \frac{x}{1+x^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a solução está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C

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