Usando substituição, calcule:
\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(\sqrt{x})}{x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável é x e, para \ln(\sqrt{x}) estar definida, devemos ter x>0.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.
  • O enunciado pede explicitamente “usando substituição”, então vamos usar uma substituição apropriada durante a resolução.

Passo 2

Primeira simplificação útil (identidade de logaritmo). Lembre que \ln(a^b)=b\ln(a). Aplicando isso:
\ln(\sqrt{x})=\ln\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln x.
Isso simplifica o integrando; não resolvemos ainda, apenas reescrevemos de forma mais manejável.

Passo 3

Usando a simplificação do passo anterior, escrevemos a integral como constante fatorada:
\int \frac{\ln(\sqrt{x})}{x}\,dx=\int \frac{\tfrac{1}{2}\ln x}{x}\,dx=\tfrac{1}{2}\int \frac{\ln x}{x}\,dx.
Aqui usei a linearidade da integral: fator constante pode sair da integral.

Passo 4

Escolha da substituição. Uma substituição natural para \int \frac{\ln x}{x}\,dx é
u=\ln x.
Agora calculemos du: como a derivada de \ln x é 1/x, obtemos
du=\frac{1}{x}\,dx\quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}=du.
Isso é perfeito porque o diferencial \frac{dx}{x} aparece no integrando.

Passo 5

Troca na integral usando u=\ln x e \frac{dx}{x}=du. Substituindo em \tfrac{1}{2}\int \frac{\ln x}{x}\,dx obtemos
\tfrac{1}{2}\int \frac{\ln x}{x}\,dx=\tfrac{1}{2}\int u\,du.
Agora a integral ficou elementar: integrar u em relação a u.

Passo 6

Integração direta. A integral de u é \tfrac{u^2}{2}, então
\tfrac{1}{2}\int u\,du=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^2}{2}=\frac{u^2}{4}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Volta para a variável original x. Lembrando que u=\ln x, substituímos:
\frac{u^2}{4}+C=\frac{(\ln x)^2}{4}+C.
Observação alternativa rápida (verificação): se tivéssemos usado v=\ln(\sqrt{x}) como substituição, notaríamos que v=\tfrac{1}{2}\ln x e \frac{dx}{x}=2\,dv, o que também leva ao mesmo resultado final v^2+C=(\ln(\sqrt{x}))^2+C, e como (\ln(\sqrt{x}))^2=(\tfrac{1}{2}\ln x)^2=\tfrac{1}{4}(\ln x)^2 chega-se à mesma expressão acima.

Resposta

\displaystyle \frac{(\ln x)^2}{4}+C

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