Usando substituição, calcule:
\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x
\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável é
e, para estar definida, devemos ter . - É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
. - O enunciado pede explicitamente “usando substituição”, então vamos usar uma substituição apropriada durante a resolução.
Passo 2
Primeira simplificação útil (identidade de logaritmo). Lembre que
. Aplicando isso:
Isso simplifica o integrando; não resolvemos ainda, apenas reescrevemos de forma mais manejável.
Passo 3
Usando a simplificação do passo anterior, escrevemos a integral como constante fatorada:
Aqui usei a linearidade da integral: fator constante pode sair da integral.
Passo 4
Escolha da substituição. Uma substituição natural para
é
Agora calculemos
: como a derivada de
é
, obtemos
Isso é perfeito porque o diferencial
aparece no integrando.
Passo 5
Troca na integral usando
e
. Substituindo em
obtemos
Agora a integral ficou elementar: integrar
em relação a
.
Passo 6
Integração direta. A integral de
é
, então
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Volta para a variável original
. Lembrando que
, substituímos:
Observação alternativa rápida (verificação): se tivéssemos usado
como substituição, notaríamos que
e
, o que também leva ao mesmo resultado final
, e como
chega-se à mesma expressão acima.