Usando substituição, calcule:
\int(\cos (x))^{3} \operatorname{sen}(x) d x
\int(\cos (x))^{3} \operatorname{sen}(x) d x
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
multiplicada por . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa expressão, ou seja, um
tal que . - Não há condições adicionais (como intervalo); portanto a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): quando vemos um produto de uma potência de
por
é razoável tentar a substituição
porque a derivada de
envolve
(até um sinal). Vou explicar por que isso é útil em detalhes.
Passo 3
Explicando substituição (aula rápida): a substituição consiste em definir uma nova variável
que simplifica a integral. Se escolhemos
, precisamos relacionar
com
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isso significa que
Aqui é importante entender:
é um diferencial que representa
. Trocar
por
é a peça que transforma uma integral trigonométrica em uma integral algébrica.
Passo 4
Reescrevendo a integral usando a substituição: a integranda é
. Como definimos
e
, temos
Colocando o sinal fora,
Passo 5
Integração da potência (aula sobre a fórmula): a integral de uma potência
com
é dada por
Aqui
, então
Portanto, com o sinal que tínhamos,
Passo 6
Voltando à variável original: substituímos
de volta:
Isso nos dá uma primitiva da integranda original.
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito): podemos conferir derivando a função encontrada para ver se volta à integranda. Seja
Derivando:
pois usamos a regra da cadeia (
). A derivada bate com a integranda, então está correta.
Passo 8
Observação útil para a prova (dica prática): sempre que a integral tiver a forma
(ou
), com
inteiro não-negativo, a substituição
(ou
) costuma simplificar imediatamente porque
traz o outro fator trigonométrico. Isso evita manipulações desnecessárias.