Usando substituição, calcule:
\int(\cos (x))^{3} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral
\int (\cos(x))^{3}\,\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (\cos(x))^{3} multiplicada por \operatorname{sen}(x).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa expressão, ou seja, um F(x) tal que F'(x) = (\cos(x))^{3}\,\operatorname{sen}(x).
  • Não há condições adicionais (como intervalo); portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia principal (sem resolver ainda): quando vemos um produto de uma potência de \cos(x) por \operatorname{sen}(x) é razoável tentar a substituição
u = \cos(x),
porque a derivada de \cos(x) envolve \operatorname{sen}(x) (até um sinal). Vou explicar por que isso é útil em detalhes.

Passo 3

Explicando substituição (aula rápida): a substituição consiste em definir uma nova variável u que simplifica a integral. Se escolhemos u=\cos(x), precisamos relacionar du com dx. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(\cos(x))\,dx = -\sin(x)\,dx.
Isso significa que
\sin(x)\,dx = -\,du.
Aqui é importante entender: du é um diferencial que representa d(\cos x). Trocar \sin(x)\,dx por -du é a peça que transforma uma integral trigonométrica em uma integral algébrica.

Passo 4

Reescrevendo a integral usando a substituição: a integranda é (\cos(x))^{3}\,\sin(x)\,dx. Como definimos u=\cos(x) e \sin(x)\,dx=-du, temos
\int (\cos(x))^{3}\,\sin(x)\,dx = \int u^{3} \cdot (-du).
Colocando o sinal fora,
\int (\cos(x))^{3}\,\sin(x)\,dx = -\int u^{3}\,du.

Passo 5

Integração da potência (aula sobre a fórmula): a integral de uma potência u^{n} com n\neq -1 é dada por
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.
Portanto, com o sinal que tínhamos,
-\int u^{3}\,du = -\frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 6

Voltando à variável original: substituímos u=\cos(x) de volta:
-\frac{u^{4}}{4} + C = -\frac{(\cos(x))^{4}}{4} + C.
Isso nos dá uma primitiva da integranda original.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito): podemos conferir derivando a função encontrada para ver se volta à integranda. Seja
F(x) = -\frac{(\cos(x))^{4}}{4}.
Derivando:
F'(x) = -\frac{1}{4}\cdot 4(\cos(x))^{3}\cdot (-\sin(x)) = (\cos(x))^{3}\sin(x),
pois usamos a regra da cadeia ( d(\cos x)/dx = -\sin x). A derivada bate com a integranda, então está correta.

Passo 8

Observação útil para a prova (dica prática): sempre que a integral tiver a forma (\cos x)^{m}\sin x\,dx (ou (\sin x)^{m}\cos x\,dx), com m inteiro não-negativo, a substituição u=\cos x (ou u=\sin x) costuma simplificar imediatamente porque du traz o outro fator trigonométrico. Isso evita manipulações desnecessárias.

Resposta

-\dfrac{(\cos(x))^{4}}{4} + C

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