Usando a substituição
, e sabendo que
, use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para integrar a função logarítmica de base 2, ou seja,
, usando substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como aplicar a regra de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a função inversa de
. Ou seja, se
, então
. Também sabemos que a derivada da função inversa é dada por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Primeiro, derivamos
:
Em seguida, integramos
para encontrar
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Resposta
A integral de
em relação a
é: