Usando a substituição u=f^-1(x), e sabendo que dd x f^-1(x)=1f^prime(x), use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(d) integral log 2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para integrar a função logarítmica de base 2, ou seja, integral log2(x) , dx, usando substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como aplicar a regra de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que log2(x) é a função inversa de f(x) = 2^x. Ou seja, se u = f^-1(x), então u = log2(x). Também sabemos que a derivada da função inversa é dada por ddx f^-1(x) = 1f'(x).

Passo 3

Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, vamos escolher u = log2(x) e dv = dx. Assim, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
Primeiro, derivamos u:
u = log2(x) du = 1x ln(2) , dx
Em seguida, integramos dv para encontrar v:
dv = dx v = integral dx = x

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral log2(x) , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot log2(x) - integral x cdot 1x ln(2) , dx = x cdot log2(x) - 1ln(2) integral 1 , dx = x cdot log2(x) - 1ln(2) x + C

Resposta

A integral de log2(x) em relação a x é:
integral log2(x) , dx = x cdot log2(x) - xln(2) + C

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