Calcule as seguintes integrais impróprias, ou mostre que são divergentes
(e) integral-8^1 1x^1 / 3 d x

Passo 1

Estamos com a integral imprópria integral-8^11x^1/3,dx. O conteúdo aqui é integral imprópria com singularidade em x=0. Para resolver, vamos usar a definição via limites e a antiderivada de x^-1/3.

Passo 2

Precisamos tratar o ponto de descontinuidade em x=0, então dividimos a integral em duas partes e introduzimos limites:
integral-8^11x^1/3,dx = limato0^-integral-8^ax^-1/3,dx + limbto0^+integralb^1x^-1/3,dx

Passo 3

Para encontrar a antiderivada, aplicamos a regra integral x^n,dx = x^n+1/(n+1), com n=-1/3. Assim,
integral x^-1/3,dx = x^(-1/3)+1(-1/3)+1 = x^2/32/3 = 32,x^2/3 + C

Passo 4

Agora calculamos cada parte:
  1. integral-8^0x^-1/3,dx = limato0^-gl[32x^2/3gr]-8^a = limato0^-l(32a^2/3 - 32(-8)^2/3r)
    Como a^2/3to0 e (-8)^2/3=4, vem
integral-8^0x^-1/3,dx = 0 - 32cdot4 = -6
2) (\displaystyle\int_{0}{1}x{-1/3},dx = \lim_{b\to0+}\biggl[\frac{3}{2}x{2/3}\biggr]_{b}^{1} = \frac{3}{2}(1^{2/3}-0) = \frac{3}{2}.]

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
-6 + 32 = -122 + 32 = -92
Como o resultado é finito, a integral converge e seu valor é -9/2.

Resposta

-9/2

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