Verifique se phi(x, y) é uma função potencial de F(x, y).
a) phi(x, y)=arctan (x y) e F(x, y)=(y1+x^2 y^2, x1+x^2 y^2)
b) phi(x, y, z)=3 x^2-3 y^2+4 z^2 e F(x, y)=(2 x,-6 y, 8 z)

Passo 1

Nesse exercício vamos verificar se uma dada função phi é potencial para o campo vec F. O conteúdo principal é o conceito de gradiente: para ser função potencial precisamos ter nablaphi=vec F. Assim, vamos calcular as derivadas parciais de phi e comparar com os componentes de vec F.

Passo 2

Para o item (a), temos phi(x,y)=arctan(xy). Calculamos as derivadas parciais usando dduarctan(u)=1/(1+u^2) com u=xy:
vec F(x,y)=l(y/(1+x^2y^2),,x/(1+x^2y^2)r)
phix
Como phiy, vemos que vec F e coincidem com os componentes de .

Passo 3

Para o item (b), temos phi(x,y,z)=3x^2-3y^2+4z^2. Calculamos as derivadas parciais:
vec F(x,y,z)=(2x,-6y,8z)
phix=6x
Fx=2x
O campo dado é phi. Compare o primeiro componente: mas . Como não coincidem, não é função potencial desse campo.

Passo 4

Resposta

a) Sim, phi é potencial de vec F.
b) Não, phi não é potencial de vec F.

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