Usando a substituição u=f^-1(x), e sabendo que dd x f^-1(x)=1f^prime(x), use Integração por Partes para integrar as seguintes funções inversas
(i) integral arcsec(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular usando a ideia geral de integrar funções inversas via integração por partes, sabendo que se integral arcsec(x),dx é a inversa de f^-1 então é a inversa de f.

Passo 2

Para funções inversas há uma identidade útil: se u=f^-1(x), então fazendo integração por partes com U=f^-1(x) e dV=dx obtém-se
integral f^-1(x),dx = x,f^-1(x) - integral x,dl(f^-1(x)r)
Como x=f(u) e d(f^-1(x))=du, chega-se à fórmula
integral f^-1(x),dx = x,f^-1(x) - integral f(u),du

Passo 3

Aqui, escolhemos f(u)=sec(u), logo . Aplicando a fórmula conseguimos
onde .

Passo 4

Agora precisamos calcular integral sec(u),du. A primitiva de sec u é obtida de forma padrão (multiplicando por (sec u+tan u)/(sec u+tan u) e fazendo substituição interna), resultando em
integral sec(u),du = lnl|sec(u) + tan(u)r| + C

Passo 5

Por fim, voltamos a x. Como temos u=arcsec(x) e, no ramo sec(u)=x, x>1. Substituindo, vem

Resposta

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