Usando substituição trigonométrica, resolva as integrais abaixo: integral (t+1) d traizt^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral t+1raizt^2-1,dt. O conteúdo envolve integração com raiz raizt^2-1 e vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica típica para expressões raizt^2-1, definindo t = sectheta. Então dt = secthetatantheta,dtheta e raizt^2-1 = tantheta.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral t+1raizt^2-1,dt = integral sectheta + 1tanthetacdot (secthetatantheta),dtheta = integral (sec^2theta + sectheta),dtheta

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Sabemos que integral sec^2theta,dtheta = tantheta e integral sectheta,dtheta = lnlvertsectheta + tanthetarvert. Então
integral (sec^2theta + sectheta),dtheta = tantheta + lnlvertsectheta + tanthetarvert + C

Passo 5

Fazendo o retorno à variável t, lembrando que sectheta = t e tantheta = raizt^2-1, obtemos a solução:
tantheta + lnlvertsectheta + tanthetarvert + C = raizt^2-1 + lnllvert t + raizt^2-1rrvert + C

Resposta

raizt^2-1 + lnllvert t + raizt^2-1rrvert + C

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