Resolver as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, a matéria envolvida é Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a manipulação. Sabemos que , então:
Podemos expressar como :
Passo 3
Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona . Sabemos que:
Substituindo na integral:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira parte, , é uma integral padrão que sabemos resolver. A segunda parte, , vamos precisar manipular um pouco mais.
Passo 5
Focando na segunda integral, observamos que
, então
. Porém, para simplificar, vamos optar por uma substituição. Vamos deixar:
Mas, precisamos ajustar nossos termos para se adequarem a essa substituição. Vamos reorganizar a expressão original.
Passo 6
Rearranjando a segunda integral:
Sabemos que , então substituindo:
Isso parece circular, então vamos ajustar nossa abordagem.
Passo 7
Voltando à integral original após a identidade:
Vamos usar integração por partes para resolver a segunda integral. Seja:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 9
Agora, substituindo de volta na equação original:
Somando dos dois lados:
Passo 10
Resolvendo para :
Sabemos que:
Passo 11
Substituindo de volta:
Resposta
A integral indefinida é: