Resolver as seguintes integrais indefinidas: integral(cosec x)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, a matéria envolvida é Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a manipulação. Sabemos que , então:
Podemos expressar como :

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona . Sabemos que:
Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira parte, , é uma integral padrão que sabemos resolver. A segunda parte, , vamos precisar manipular um pouco mais.

Passo 5

Focando na segunda integral, observamos que u = cot x Rightarrow du = -cosec^2 x , dx , então . Porém, para simplificar, vamos optar por uma substituição. Vamos deixar:
Mas, precisamos ajustar nossos termos para se adequarem a essa substituição. Vamos reorganizar a expressão original.

Passo 6

Rearranjando a segunda integral:
Sabemos que , então substituindo:
Isso parece circular, então vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 7

Voltando à integral original após a identidade:
Vamos usar integração por partes para resolver a segunda integral. Seja:

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes integral cosec x cdot cot^2 x , dx = -cot x cosec x - integral (-cosec x) cdot (-cosec^2 x) , dx :

Passo 9

Agora, substituindo de volta na equação original:
Somando dos dois lados:

Passo 10

Resolvendo para :
Sabemos que:

Passo 11

Substituindo de volta:

Resposta

A integral indefinida é:

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