Usando uma tabela, escreva a transformada de Fourier dos seguintes sinais. Faça um programa scilab para plotar tanto o sinal quanto a transformada.
f(t)=5 \operatorname{rect}\left(\frac{t}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever a transformada de Fourier do sinal dado e (2) fornecer um programa em Scilab que plote tanto o sinal no domínio do tempo quanto a sua transformada (aproximada numericamente) no domínio da frequência. O sinal dado é
f(t)=5\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{t}{4}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá (e que vou usar explicitamente):
  • A função \operatorname{rect}(x) vale 1 para |x|<\tfrac{1}{2} (e normalmente vale \tfrac{1}{2} na fronteira, mas isso não muda a transformada contínua), e vale 0 fora.
  • Portanto, pegando \operatorname{rect}\!\left(\tfrac{t}{4}\right), o sinal é igual a 1 para |t|<2 e 0 para |t|>2. Ou seja, o pulso tem largura 4 e altura 1, e o fator 5 escala a amplitude para 5.
  • Vou usar a convenção padrão de transformada de Fourier em frequência linear (Hz):
F(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-j2\pi f t}\,dt.
(Não foi dada convenção no enunciado; essa é a mais comum em sinais e sistemas e facilita a relação rect ↔ sinc.)

Passo 2

Intuição e fórmula básica: a transformada de um pulso retangular é uma função sinc. Vou derivar passo a passo para você entender e saber fazer na prova.
Definição do sinal em termos de intervalo:
f(t)=5\quad\text{para}\quad |t|<2,\qquad f(t)=0\quad\text{para}\quad |t|>2.
Aplicamos a definição da transformada:
F(f)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, e^{-j2\pi f t}\,dt =\int_{-2}^{2} 5\, e^{-j2\pi f t}\,dt.
Agora resolvemos a integral passo a passo (sem pular etapas):
\int_{-2}^{2} 5\, e^{-j2\pi f t}\,dt =5\left[\frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f}\right]_{t=-2}^{t=2}.
Calcule o numerador:
e^{-j2\pi f \cdot 2}-e^{-j2\pi f \cdot (-2)} = e^{-j4\pi f}-e^{j4\pi f}.
Usamos a identidade e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta. Reescrevendo com sinal trocado:
e^{-j4\pi f}-e^{j4\pi f} = -\big(e^{j4\pi f}-e^{-j4\pi f}\big) = -2j\sin(4\pi f).
Substituindo na expressão da integral:
F(f)=5\cdot\frac{-2j\sin(4\pi f)}{-j2\pi f}.
Cancelei os fatores -j e 2 e simplifiquei:
F(f)=5\cdot\frac{2\sin(4\pi f)}{2\pi f}=5\cdot\frac{\sin(4\pi f)}{\pi f}.
Forma alternativa, usando a função sinc normalizada \operatorname{sinc}(x)=\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}:
F(f)=20\cdot\operatorname{sinc}(4f),
porque
20\operatorname{sinc}(4f)=20\cdot\frac{\sin(\pi\cdot 4f)}{\pi\cdot 4f}=5\cdot\frac{\sin(4\pi f)}{\pi f}.
Observação importante (caso f=0): a expressão \dfrac{\sin(4\pi f)}{\pi f} tem forma indeterminada em f=0. Calculamos o limite:
\lim_{f\to 0}5\cdot\frac{\sin(4\pi f)}{\pi f}=5\cdot\frac{4\pi}{\pi}=20,
que é simplesmente a área do pulso ( \text{altura}\times\text{largura}=5\cdot 4). Isso bate com a interpretação física: a componente DC é a área do sinal.

Passo 3

Tabela com o par tempo ↔ frequência (usando a convenção F(f)=\int f(t)e^{-j2\pi f t}dt):
Sinal f(t) Transformada F(f)
\displaystyle f(t)=5\,\operatorname{rect}\!\left(\frac{t}{4}\right) \displaystyle F(f)=5\cdot\frac{\sin(4\pi f)}{\pi f}=20\operatorname{s{sinc}}(4f)
Nota didática: na tabela eu escrevi duas formas equivalentes. \operatorname{s{sinc}}(x) denota \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}. Na prova você pode usar qualquer uma das formas, mas sempre explique o caso f=0 (limite = 20).

Passo 4

Agora um programa Scilab para plotar o sinal no tempo e a sua transformada (aproximação numérica via FFT) e também sobrepor a transformada analítica para comparação. Vou comentar cada linha pra você entender o que acontece — copiou, colou e roda no Scilab:
// Parâmetros de amostragem
Fs = 200;          // frequência de amostragem em Hz (quanto maior, melhor a aproximação)
dt = 1/Fs;
Ttot = 1;          // duração total do sinal em segundos (escolha suficiente para ver a janela)
t = -Ttot/2:dt:(Ttot/2 - dt); // vetor tempo (simétrico)

//
// Definição do sinal f(t) = 5 * rect(t/4)
// rect(t/4) = 1 para |t| < 2, 0 fora
//
x = 5 * (abs(t) < 2); // cria um vetor com 5 onde |t|<2 e 0 caso contrário

// Plot do sinal no domínio do tempo
scf(0); clf();
subplot(2,1,1);
plot(t, x, 'b-');
xlabel('t (s)'); ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=5*rect(t/4)');
xgrid();

// ===== Aproximação da transformada via FFT =====
// Preparar FFT
N = length(t);
X = fft(x);                  // FFT sem shift
X = fftshift(X);             // centraliza frequência zero no meio do vetor
f = (-N/2:N/2-1)*(Fs/N);     // eixo de frequências em Hz

// Escala para aproximar a transformada contínua: multiplicar por dt
X = X * dt;

// Plot da magnitude da FFT
subplot(2,1,2);
plot(f, abs(X), 'b-');
xlabel('f (Hz)'); ylabel('|F(f)|');
xtitle('Transformada (FFT aproximada) de f(t)');
xgrid();
drawlater();

// ===== Transformada analítica para sobrepor =====
F_ana = 5 * (sin(4*%pi*f)./( %pi*f )); // cuidado com f=0
// tratar o ponto f=0 (evita divisão por zero)
idx = find(abs(f) < 1e-12);
if size(idx) > 0 then F_ana(idx) = 20; end
plot(f, abs(F_ana), 'r--');
legend(['FFT (num)'; 'Analítica'], 'in_upper_right');
drawnow();
Explicações rápidas sobre o código (pra ficar claro na prova como reproduzir):
  • A FFT computa uma aproximação discreta da transformada contínua. Multiplicamos por dt para aproximar a integral contínua (Riemann sum).
  • fftshift organiza o vetor de frequências de forma centrada em zero (útil para plot).
  • F_ana calcula a expressão analítica 5\sin(4\pi f)/(\pi f) ponto a ponto; tratamos numericamente f=0 pela substituição pelo limite 20.
  • Ajuste Fs e Ttot se quiser melhor resolução em frequência ou mais amostra temporal.

Passo 5

Exemplo numérico rápido pra você decorar: valor DC
F(0)=20.
Valor em f=\tfrac{1}{4} (apenas como exemplo de cálculo à mão):
F\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=5\cdot\frac{\sin(4\pi\cdot \tfrac{1}{4})}{\pi\cdot \tfrac{1}{4}} =5\cdot\frac{\sin(\pi)}{\tfrac{\pi}{4}}=0,
o que mostra que a transformada tem zeros periódicos — característica típica de sinc (útil para provas).

Resposta

\displaystyle F(f)=5\cdot\frac{\sin(4\pi f)}{\pi f}=20\operatorname{sinc}(4f)
Programa Scilab (copiar e colar no Scilab):
// Parâmetros de amostragem
Fs = 200;          // frequência de amostragem em Hz
dt = 1/Fs;
Ttot = 1;          
t = -Ttot/2:dt:(Ttot/2 - dt);

// Definição do sinal f(t) = 5 * rect(t/4)
x = 5 * (abs(t) < 2);

// Plot do sinal no domínio do tempo
scf(0); clf();
subplot(2,1,1);
plot(t, x, 'b-');
xlabel('t (s)'); ylabel('f(t)');
xtitle('Sinal no tempo: f(t)=5*rect(t/4)');
xgrid();

// Aproximação da transformada via FFT
N = length(t);
X = fft(x);
X = fftshift(X);
f = (-N/2:N/2-1)*(Fs/N);
X = X * dt;

// Plot da magnitude da FFT
subplot(2,1,2);
plot(f, abs(X), 'b-');
xlabel('f (Hz)'); ylabel('|F(f)|');
xtitle('Transformada (FFT aproximada) de f(t)');
xgrid();
drawlater();

// Transformada analítica para sobrepor
F_ana = 5 * (sin(4*%pi*f)./( %pi*f ));
idx = find(abs(f) < 1e-12);
if size(idx) > 0 then F_ana(idx) = 20; end
plot(f, abs(F_ana), 'r--');
legend(['FFT (num)'; 'Analítica'], 'in_upper_right');
drawnow();

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