Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar
para as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função a transformar é .
O que se pede: encontrar , isto é, uma expressão em função de
que represente a transformada de Laplace dessa
.
Informações dadas: a função a transformar é
O que se pede: encontrar
Passo 2
Vou recordar duas coisas importantes (tabelas/propriedades) que usaremos: a definição de
e a propriedade que relaciona multiplicação por
com derivação em
.
Definição da função seno hiperbólico:
Propriedade (muito útil em provas): se
, então
Vou usar essa propriedade porque transforma o problema de multiplicar por
no tempo em uma derivada no domínio de
, o que costuma ser mais direto.
Passo 3
Primeiro, precisamos da transformada de
. Pela tabela (ou usando a definição exponencial),
Usando a representação exponencial e a transformada de
que é
para
, temos
Simplificando essa fração:
Logo definimos
válido para
(região de convergência).
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade do passo 2 para obter a transformada de
:
Vou calcular essa derivada passo a passo.
Passo 5
Calcule a derivada. Escrevemos a função como
. Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder:
E
. Então
Passo 6
Aplicando o sinal negativo que aparece na propriedade
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (intuitiva): a expressão tem a forma esperada (racional em
) e a região de convergência permanece
porque
exige
e multiplicar por
não amplia a região. Portanto a resposta está consistente.