Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as funções abaixo:
f(t)=t \operatorname{senh}(3 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=t\,\operatorname{senh}(3t).
Informações dadas: a função a transformar é f(t)=t\,\operatorname{senh}(3t).
O que se pede: encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}, isto é, uma expressão em função de s que represente a transformada de Laplace dessa f(t).

Passo 2

Vou recordar duas coisas importantes (tabelas/propriedades) que usaremos: a definição de \operatorname{senh} e a propriedade que relaciona multiplicação por t com derivação em s.
Definição da função seno hiperbólico:
\operatorname{senh}(x)=\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Propriedade (muito útil em provas): se F(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{t\,g(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s).
Vou usar essa propriedade porque transforma o problema de multiplicar por t no tempo em uma derivada no domínio de s, o que costuma ser mais direto.

Passo 3

Primeiro, precisamos da transformada de \operatorname{senh}(3t). Pela tabela (ou usando a definição exponencial),
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(3t)\} = \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(3t)\}.
Usando a representação exponencial e a transformada de e^{at} que é \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a, temos
\operatorname{sinh}(3t)=\frac{e^{3t}-e^{-3t}}{2}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(3t)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s+3}\right).
Simplificando essa fração:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s+3}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{(s+3)-(s-3)}{(s-3)(s+3)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{6}{s^{2}-9} = \frac{3}{s^{2}-9}.
Logo definimos
F(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(3t)\}=\frac{3}{s^{2}-9},
válido para \Re(s)>3 (região de convergência).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade do passo 2 para obter a transformada de t\,\operatorname{sinh}(3t):
\mathcal{L}\{t\,\operatorname{sinh}(3t)\} = -\frac{d}{ds}\left( \frac{3}{s^{2}-9} \right).
Vou calcular essa derivada passo a passo.

Passo 5

Calcule a derivada. Escrevemos a função como 3\cdot (s^{2}-9)^{-1}. Aplicando a regra da cadeia e a regra do poder:
\frac{d}{ds}\left(3(s^{2}-9)^{-1}\right)=3\cdot(-1)(s^{2}-9)^{-2}\cdot\frac{d}{ds}(s^{2}-9).
E \dfrac{d}{ds}(s^{2}-9)=2s. Então
\frac{d}{ds}\left( \frac{3}{s^{2}-9} \right)=3\cdot(-1)\cdot(2s)\cdot (s^{2}-9)^{-2} = -\frac{6s}{(s^{2}-9)^{2}}.

Passo 6

Aplicando o sinal negativo que aparece na propriedade \mathcal{L}\{t g(t)\}=-\dfrac{d}{ds}G(s), obtemos
\mathcal{L}\{t\,\operatorname{sinh}(3t)\} = -\left(-\frac{6s}{(s^{2}-9)^{2}}\right) = \frac{6s}{(s^{2}-9)^{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (intuitiva): a expressão tem a forma esperada (racional em s) e a região de convergência permanece \Re(s)>3 porque \operatorname{sinh}(3t) exige \Re(s)>3 e multiplicar por t não amplia a região. Portanto a resposta está consistente.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t\,\operatorname{senh}(3t)\}=\frac{6s}{(s^{2}-9)^{2}},\\ \Re(s)>3

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