Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as funções abaixo: f(t)=\left\{\begin{array}{cc}4 & , 0 \leq t<2 \\\\ 0 & , t \geq 2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}\) onde \(f(t)\) é a função dada por
\[f(t)=\begin{cases}4, & 0\le t<2,\\[4pt] 0, & t\ge 2.\end{cases}
Informações relevantes: f(t)\] é um pulso de amplitude \(4 que vale 4 entre t=0 e t=2 e vale 0 a partir de t=2. A tarefa é calcular a transformada de Laplace dessa função, usando a tabela (ou propriedades usuais) da transformada.]
Passo 2
Vou começar lembrando o que é a transformada de Laplace e algumas propriedades úteis (isso é “aulinha” que o professor espera que você conheça na prova).
Definição:
válida para (\operatorname{Re}(s)>0]. Outra entrada da tabela útil é a transformada da constante: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\quad \operatorname{Re}(s)>0.]
Passo 3
Vamos reescrever f(t) usando o degrau unitário (isso é padrão na tabela): como f(t) vale 4 até t=2 e 0 depois, podemos escrever
f(t)=4\bigl(1-u(t-2)\bigr).
Explicação rápida: para t<2 temos u(t-2)=0 então 1-u(t-2)=1 e f(t)=4; para t>2 temos u(t-2)=1 então 1-u(t-2)=0 e f(t)=0. O valor em t=2 não altera a transformada (é um ponto isolado).
Passo 4
Aplicando a linearidade e as fórmulas da tabela: primeiro a linearidade dá
Obtivemos exatamente o mesmo resultado. Observação sobre convergência: essa integral converge para \operatorname{Re}(s)>0.
Passo 6
Resumo final e dica rápida para a prova: sempre que você tiver um pulso finito como esse, duas estratégias rápidas funcionam — (i) escrever com degrau unitário e usar a entrada da tabela \mathcal{L}\{u(t-a)\}=e^{-as}/s, ou (ii) integrar diretamente de 0 até a duração do pulso. Ambas dão o mesmo resultado. Você conseguiu — pulse curto, resultado curto!