Usando a tabela para a transformada de Laplace, determinar \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} para as funções abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{cc}4 & , 0 \leq t<2 \\\\ 0 & , t \geq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \mathcal{L}\{f(t)\}\) onde \(f(t)\) é a função dada por \[f(t)=\begin{cases}4, & 0\le t<2,\\[4pt] 0, & t\ge 2.\end{cases}
Informações relevantes: f(t)\] é um pulso de amplitude \(4 que vale 4 entre t=0 e t=2 e vale 0 a partir de t=2. A tarefa é calcular a transformada de Laplace dessa função, usando a tabela (ou propriedades usuais) da transformada.]

Passo 2

Vou começar lembrando o que é a transformada de Laplace e algumas propriedades úteis (isso é “aulinha” que o professor espera que você conheça na prova).
Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt.
Linearidade: para constantes a,b\) e funções \(f,g\), \[\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
A função degrau unitário deslocada (função de Heaviside) é
u(t-a)=\begin{cases}0, & t<a,\\[4pt]1, & t>a,\end{cases}
e da tabela temos (ou derivamos) a fórmula
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\int_{a}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{e^{-as}}{s},
válida para (\operatorname{Re}(s)>0]. Outra entrada da tabela útil é a transformada da constante:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\quad \operatorname{Re}(s)>0.]

Passo 3

Vamos reescrever f(t) usando o degrau unitário (isso é padrão na tabela): como f(t) vale 4 até t=2 e 0 depois, podemos escrever
f(t)=4\bigl(1-u(t-2)\bigr).
Explicação rápida: para t<2 temos u(t-2)=0 então 1-u(t-2)=1 e f(t)=4; para t>2 temos u(t-2)=1 então 1-u(t-2)=0 e f(t)=0. O valor em t=2 não altera a transformada (é um ponto isolado).

Passo 4

Aplicando a linearidade e as fórmulas da tabela: primeiro a linearidade dá
\mathcal{L}\{f(t)\}=4\mathcal{L}\{1\}-4\mathcal{L}\{u(t-2)\}.
Agora uso as entradas da tabela que lembramos:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{u(t-2)\}=\frac{e^{-2s}}{s}.
Substituindo:
\mathcal{L}\{f(t)\}=4\left(\frac{1}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}\right).
Fatorando 1/s obtemos a forma mais compacta
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{4\bigl(1-e^{-2s}\bigr)}{s}.

Passo 5

Como checagem (e para você ver outra maneira de resolver na prova, caso prefira integrar direto), faço a definição integral:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt=\int_{0}^{2} 4e^{-st}\,dt + \int_{2}^{\infty} 0\cdot e^{-st}\,dt.
A segunda integral é zero, então calculamos a primeira:
\int_{0}^{2} 4e^{-st}\,dt = 4\left[\frac{-1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{2}= -\frac{4}{s}\bigl(e^{-2s}-1\bigr)=\frac{4}{s}\bigl(1-e^{-2s}\bigr).
Obtivemos exatamente o mesmo resultado. Observação sobre convergência: essa integral converge para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 6

Resumo final e dica rápida para a prova: sempre que você tiver um pulso finito como esse, duas estratégias rápidas funcionam — (i) escrever com degrau unitário e usar a entrada da tabela \mathcal{L}\{u(t-a)\}=e^{-as}/s, ou (ii) integrar diretamente de 0 até a duração do pulso. Ambas dão o mesmo resultado. Você conseguiu — pulse curto, resultado curto!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{4\bigl(1-e^{-2s}\bigr)}{s}, \operatorname{Re}(s)>0

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