Usando o teorema 17.4 calcule as integrais definidas indicadas nos problemas 1 a 11.
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x d x}{6-5 \operatorname{sen} x+\operatorname{sen}^{2} x}. Resposta. \ln \frac{4}{3}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x\,dx}{6 - 5\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}^{2}x}
Usaremos o Teorema 17.4 (que diz que \int f'(x)/f(x)\,dx = \ln|f(x)|) junto com a substituição t=\operatorname{sen} x.

Passo 2

Fazendo
t = \operatorname{sen} x,\quad dt = \cos x\,dx,
os limites mudam de x=0\to t=0 e x=\pi/2\to t=1. A integral torna-se
\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2}-5t+6}.

Passo 3

O denominador é
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3).
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(t-2)(t-3)}=\frac{A}{t-2}+\frac{B}{t-3}
com
A(t-3)+B(t-2)=1.
Tomando t=2 e t=3 achamos A=-1 e B=1. Logo a integral é
\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-3}\Bigr)dt.

Passo 4

Integramos cada termo usando \int dt/(t-a)=\ln|t-a|:
\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-3}\Bigr)dt =\Bigl[-\ln|t-2|+\ln|t-3|\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Calculando os limites, temos
\bigl(-\ln|1-2|+\ln|1-3|\bigr)\;-\;\bigl(-\ln|0-2|+\ln|0-3|\bigr) =2\ln 2-\ln 3 =\ln\frac{4}{3}.

Resposta

\ln\frac{4}{3}

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