Usando o teorema 17.4 calcule as integrais definidas indicadas nos problemas 1 a 11.
\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}. Resposta. \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}. Sugestão. Faça x=\operatorname{tg} u.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}
usando o Teorema 17.4 (que diz que, se f é função par, então \displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x = 2\int_{0}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x) e a sugestão da substituição trigonométrica x=\tan u.

Passo 2

Fazendo x=\tan u, temos
\mathrm{d}x = \operatorname{sec}^{2}u\,\mathrm{d}u,
e
1 + x^{2} = 1 + \tan^{2}u = \operatorname{sec}^{2}u.
Os limites de integração em u são:
x=-1\implies u=-\frac{\pi}{4}, \quad x=1\implies u= \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{sec}^{2}u\,\mathrm{d}u}{\bigl(\operatorname{sec}^{2}u\bigr)^{2}} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\operatorname{sec}^{2}u}{\operatorname{sec}^{4}u}\,\mathrm{d}u = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}u\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Como \cos^{2}u é função par, aplicamos o Teorema 17.4:
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}u\,\mathrm{d}u = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}u\,\mathrm{d}u.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}u = \frac{1+\cos(2u)}{2},
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2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^{2}u\,\mathrm{d}u = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\cos(2u)}{2}\,\mathrm{d}u = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(1+\cos(2u)\bigr)\,\mathrm{d}u.

Passo 6

Calculando a primitiva:
\int\bigl(1+\cos(2u)\bigr)\,\mathrm{d}u = u + \tfrac{1}{2}\sin(2u).
Avaliaremos de u=0 a u=\tfrac{\pi}{4}:
\Bigl[u + \tfrac{1}{2}\sin(2u)\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \Bigl(\tfrac{\pi}{4} + \tfrac{1}{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) - (0 + \tfrac{1}{2}\sin0) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}.

Resposta

\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}.

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