Usando o teorema 17.4 calcule as integrais definidas indicadas nos problemas 1 a 11.
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x. Resposta. 1/3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} x\,\cos^{2}x\,\dif x
e indica usar o Teorema 17.4 (integração por substituição).

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u=\cos x \quad\Longrightarrow\quad \dif u = -\operatorname{sen} x\,\dif x \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} x\,\dif x = -\dif u.

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando os limites:
quando x=0, u=\cos0=1;
quando x=\pi/2, u=\cos(\pi/2)=0.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} x\,\cos^{2}x\,\dif x =\int_{x=0}^{x=\pi/2}\cos^{2}x\bigl(\operatorname{sen} x\,\dif x\bigr) =-\int_{u=1}^{u=0}u^{2}\,\dif u =\int_{u=0}^{u=1}u^{2}\,\dif u.

Passo 4

Calculamos a integral de u^{2}:
\int_{0}^{1}u^{2}\,\dif u =\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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