Usando o teorema binomial, desenvolva:
\left(m+\frac{1}{m}\right)^{5}-\left(m-\frac{1}{m}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expressão
\left(m+\frac{1}{m}\right)^{5}-\left(m-\frac{1}{m}\right)^{5}.
Informações dadas:
  • Temos duas potências de expoente \,5 envolvendo \,m e \,\dfrac{1}{m}.
  • Precisamos expandir ambas e calcular a diferença, obtendo uma forma simplificada.

Passo 2

Vamos usar o Teorema Binomial. Ele diz que, para quaisquer números \,a, \,b e inteiro não negativo \,n,
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}.
Explicando cada parte:
  • \,(a+b)^n é a potência que queremos expandir.
  • \,\binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdots1.
  • O somatório varia k de 0 até n; cada termo mistura potências de \,a e \,b.
    Exemplo rápido: (a+b)^2 = \binom{2}{0}a^2+\binom{2}{1}a b+\binom{2}{2}b^2 = a^2+2ab+b^2.

Passo 3

Aplique o Teorema Binomial com \,a=m, \,b=\dfrac{1}{m} e \,n=5. Então
\left(m+\frac{1}{m}\right)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} m^{\,5-k}\left(\frac{1}{m}\right)^{k}.
Simplificando cada termo da soma usando \,m^{5-k}\left(\dfrac{1}{m}\right)^k = m^{5-2k}, obtemos
\left(m+\frac{1}{m}\right)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} m^{\,5-2k}.

Passo 4

Escrevendo explicitamente os termos (os expoentes são 5,3,1,-1,-3,-5 para k=0,1,2,3,4,5) e usando os coeficientes \binom{5}{0}=1, \binom{5}{1}=5, \binom{5}{2}=10, \binom{5}{3}=10, \binom{5}{4}=5, \binom{5}{5}=1, temos
\left(m+\frac{1}{m}\right)^5 = m^{5} + 5m^{3} + 10m^{1} + 10m^{-1} + 5m^{-3} + m^{-5}.

Passo 5

Agora expanda \left(m-\dfrac{1}{m}\right)^5. A diferença é que cada termo com \left(-\dfrac{1}{m}\right)^k traz um fator (-1)^k, logo
\left(m-\frac{1}{m}\right)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} m^{5-2k}(-1)^k.
Escrevendo explicitamente:
\left(m-\frac{1}{m}\right)^5 = m^{5} - 5m^{3} + 10m^{1} - 10m^{-1} + 5m^{-3} - m^{-5}.

Passo 6

Agora subtraímos termo a termo:
\left(m+\frac{1}{m}\right)^5 - \left(m-\frac{1}{m}\right)^5.
Observe que os termos com k par (expoentes 5,1,-3 correspondentes a k=0,2,4) aparecem com o mesmo sinal em ambas as expansões e, portanto, se cancelam na subtração. Os termos com k ímpar (expoentes 3,-1,-5 correspondentes a k=1,3,5) mudam de sinal e, ao subtrair, dobram. Em fórmula geral:
(a+b)^n-(a-b)^n = 2\sum_{\substack{k=0\k\\ \text{ímpar}}}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.

Passo 7

Aplicando isso ao nosso caso, os termos que permanecem são os de k=1,3,5. Somando-os (antes de multiplicar por 2):
5m^{3} + 10m^{-1} + 1\cdot m^{-5}.
Multiplicando por 2 (porque cada termo ímpar aparece com sinais opostos nas duas expansões), obtemos
2\left(5m^{3} + 10m^{-1} + m^{-5}\right) = 10m^{3} + 20m^{-1} + 2m^{-5}.

Resposta

10m^{3}+\frac{20}{m}+\frac{2}{m^{5}}

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