Usando o teorema binomial, desenvolva:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a expressão
Informações dadas:
- Temos duas potências de expoente
envolvendo e . - Precisamos expandir ambas e calcular a diferença, obtendo uma forma simplificada.
Passo 2
Vamos usar o Teorema Binomial. Ele diz que, para quaisquer números
,
e inteiro não negativo
,
Explicando cada parte:
-
é a potência que queremos expandir. -
é o coeficiente binomial, que vale
onde
(fatorial) significa
.
- O somatório varia
de até ; cada termo mistura potências de e .
Exemplo rápido:.
Passo 3
Aplique o Teorema Binomial com
,
e
. Então
Simplificando cada termo da soma usando
, obtemos
Passo 4
Escrevendo explicitamente os termos (os expoentes são
para
) e usando os coeficientes
,
,
,
,
,
, temos
Passo 5
Agora expanda
. A diferença é que cada termo com
traz um fator
, logo
Escrevendo explicitamente:
Passo 6
Agora subtraímos termo a termo:
Observe que os termos com
par (expoentes
correspondentes a
) aparecem com o mesmo sinal em ambas as expansões e, portanto, se cancelam na subtração. Os termos com
ímpar (expoentes
correspondentes a
) mudam de sinal e, ao subtrair, dobram. Em fórmula geral:
Passo 7
Aplicando isso ao nosso caso, os termos que permanecem são os de
. Somando-os (antes de multiplicar por
):
Multiplicando por
(porque cada termo ímpar aparece com sinais opostos nas duas expansões), obtemos