Quais os coeficientes de correlação linear (\mathrm{r}) de cada um dos grupos?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os coeficientes de correlação linear r de cada um dos grupos.
Informações que o enunciado deu: nenhuma (apenas a pergunta).
Informações que faltam e que são essenciais para resolver o problema:
  • Para cada grupo preciso dos pares de observações (x_i,y_i) (ou, alternativamente, das somas/resumos: n, \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum y_i^2, \sum x_i y_i ou da covariância e dos desvios-padrão).
  • Sem esses dados numéricos não há como calcular um valor numérico para r.

Passo 2

O que é o coeficiente de correlação linear de Pearson e qual é a fórmula que vamos usar (aula mastigada, passo a passo).
Definição: o coeficiente de correlação linear de Pearson mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis X e Y. O valor de r varia entre -1 e 1. Valores próximos a 1 indicam correlação positiva forte, próximos a -1 correlação negativa forte, e próximos a 0 pouca ou nenhuma correlação linear.
Fórmula direta usando médias e somas dos desvios:
r = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}
Explicando cada símbolo:
  • n é o número de pares (x_i,y_i) no grupo.
  • \bar{x} é a média dos x_i, isto é \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • \bar{y} é a média dos y_i, isto é \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
  • O numerador \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) é a soma dos produtos dos desvios — é proporcional à covariância.
  • O denominador normaliza pela variabilidade de X e Y, transformando a covariância em uma medida adimensional que fica entre -1 e 1.
Fórmula prática que evita primeiro calcular \bar{x} e \bar{y} ao fazer as contas manualmente:
r = \frac{n\displaystyle\sum x_i y_i - \bigl(\displaystyle\sum x_i\bigr)\bigl(\displaystyle\sum y_i\bigr)}{\sqrt{\Bigl(n\displaystyle\sum x_i^2 - \bigl(\displaystyle\sum x_i\bigr)^2\Bigr)\Bigl(n\displaystyle\sum y_i^2 - \bigl(\displaystyle\sum y_i\bigr)^2\Bigr)}}
Aqui:
  • \sum x_i significa somar todos os x_i do grupo, etc.
  • Essa fórmula é útil em provas porque você calcula algumas somas ( \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum y_i^2, \sum x_i y_i ) e então aplica a expressão.

Passo 3

Como aplicar a fórmula passo a passo (instrução prática que você pode replicar na prova)
  1. Liste as observações do grupo como pares (x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n).
  2. Calcule \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2, \sum y_i^2 e \sum x_i y_i.
  3. Substitua esses valores na fórmula prática do Passo 2.
  4. Calcule o numerador e o denominador separadamente; cuidado com sinais e com ordem das operações.
  5. Divida para obter r. Interprete o sinal (positivo/negativo) e a magnitude (quão perto de \pm 1).
Dica de verificação: se todas as observações estiverem sobre uma reta com inclinação positiva perfeita, r=1; se estiverem sobre uma reta com inclinação negativa perfeita, r=-1; se não houver relação linear aparente, r estará perto de 0.

Passo 4

Exemplo completo e detalhado (para você “ver na prática” e poder reproduzir no tempo de prova)
Considere o pequeno conjunto de exemplo (isto é APENAS um exemplo didático, não os seus grupos):
(1,2), (2,3), (3,5), (4,4).
Calculemos as somas necessárias:
n=4
\sum x_i = 1+2+3+4 = 10
\sum y_i = 2+3+5+4 = 14
\sum x_i y_i = 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 5 + 4\cdot 4 = 39
\sum x_i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 30
\sum y_i^2 = 2^2+3^2+5^2+4^2 = 54
Agora a fórmula prática:
\text{numerador} = n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i) = 4\cdot 39 - 10\cdot 14 = 156 - 140 = 16
\text{denom}_x = n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2 = 4\cdot 30 - 10^2 = 120 - 100 = 20
\text{denom}_y = n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2 = 4\cdot 54 - 14^2 = 216 - 196 = 20
\text{denominador} = \sqrt{\text{denom}_x \cdot \text{denom}_y} = \sqrt{20\cdot 20} = 20
r = \frac{16}{20} = 0{,}8
Interpretação rápida do exemplo: r=0{,}8 indica uma correlação linear positiva forte entre X e Y no exemplo.

Passo 5

Observações finais e incentivo
  • Se você tiver os dados de cada grupo, siga os passos do Passo 3 e exemplo do Passo 4: calcule as somas e aplique a fórmula prática — é rápido e confiável na prova.
  • Se os dados forem grandes, organize as somas em uma tabela (colunas x_i, y_i, x_i^2, y_i^2, x_i y_i) e some no final — isso evita erros.
  • Você vai conseguir, respira fundo e tenta aplicar esses passos com calma. Se travar em conta pesada, faça as somas com cuidado e confira cada subtotal.

Resposta

Não é possível determinar os coeficientes de correlação sem os dados (pares (x_i,y_i)) ou os resumos numéricos de cada grupo.

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