Usando o teorema binomial, desenvolva:
(x+3 b)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver (expandir) a potência (x+3 b)^{3}.
Informações dadas: a expressão é um binómio com primeiro termo x, segundo termo 3 b e expoente 3.
Objetivo: escrever essa potência como um polinómio somando termos na forma x^{p}b^{q} (ou seja, expandir completamente).

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral para expandir uma potência de um binómio. A fórmula (teorema binomial) é:
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Explicando: \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta quantas escolhas (combinações) existem e é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\times(n-1)\times\cdots\times1. Por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6.

Passo 3

Como o expoente aqui é n=3, os coeficientes binomiais são fáceis de calcular:
\binom{3}{0}=1,\qquad \binom{3}{1}=3,\qquad \binom{3}{2}=3,\qquad \binom{3}{3}=1.
Agora identificamos a=x e b=3b (atenção: o segundo termo é o produto 3\cdot b). Vamos usar a fórmula somando os termos para k=0,1,2,3.

Passo 4

Calcule cada termo da soma separadamente para ficar bem claro (sem pular etapas):
  • Para k=0:
\binom{3}{0}x^{3}(3b)^{0}=1\cdot x^{3}\cdot 1 = x^{3}.
  • Para k=1:
\binom{3}{1}x^{2}(3b)^{1}=3\cdot x^{2}\cdot(3b)=3\cdot3\cdot x^{2}b=9x^{2}b.
Expliquei: multipliquei 3 (coeficiente binomial) por 3 (do fator 3b) para obter 9.
  • Para k=2:
\binom{3}{2}x^{1}(3b)^{2}=3\cdot x\cdot(3b)^{2}=3\cdot x\cdot 9b^{2}=27xb^{2}.
Expliquei: (3b)^{2}=9b^{2}, depois multiplica por 3 e por x.
  • Para k=3:
\binom{3}{3}x^{0}(3b)^{3}=1\cdot 1\cdot(3b)^{3}=27b^{3}.
Expliquei: (3b)^{3}=27b^{3}.

Passo 5

Somando os termos calculados no passo anterior obtemos a expansão completa (reunindo termos de mesma natureza):
x^{3}+9x^{2}b+27xb^{2}+27b^{3}.
Uma verificação alternativa (útil na prova, caso você queira checar): primeiro calcule (x+3b)^{2}=x^{2}+6xb+9b^{2} (fórmula do quadrado do binómio). Em seguida multiplique (x^{2}+6xb+9b^{2})(x+3b) distribuindo cada termo; ao combinar os termos semelhantes você chega à mesma expressão acima — isso confirma que a expansão está correta.

Resposta

x^{3}+9x^{2}b+27xb^{2}+27b^{3}

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