Usando o teorema binomial, desenvolva:
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver (expandir) a potência
.
Informações dadas: a expressão é um binómio com primeiro termo , segundo termo
e expoente
.
Objetivo: escrever essa potência como um polinómio somando termos na forma (ou seja, expandir completamente).
Informações dadas: a expressão é um binómio com primeiro termo
Objetivo: escrever essa potência como um polinómio somando termos na forma
Passo 2
Vamos usar a fórmula geral para expandir uma potência de um binómio. A fórmula (teorema binomial) é:
Explicando:
é o coeficiente binomial, que conta quantas escolhas (combinações) existem e é dado por
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto
. Por exemplo,
.
Passo 3
Como o expoente aqui é
, os coeficientes binomiais são fáceis de calcular:
Agora identificamos
e
(atenção: o segundo termo é o produto
). Vamos usar a fórmula somando os termos para
.
Passo 4
Calcule cada termo da soma separadamente para ficar bem claro (sem pular etapas):
- Para
:
- Para
:
Expliquei: multipliquei
(coeficiente binomial) por
(do fator
) para obter
.
- Para
:
Expliquei:
, depois multiplica por
e por
.
- Para
:
Expliquei:
.
Passo 5
Somando os termos calculados no passo anterior obtemos a expansão completa (reunindo termos de mesma natureza):
Uma verificação alternativa (útil na prova, caso você queira checar): primeiro calcule
(fórmula do quadrado do binómio). Em seguida multiplique
distribuindo cada termo; ao combinar os termos semelhantes você chega à mesma expressão acima — isso confirma que a expansão está correta.