Usando o Teorema da função implícita, encontre \frac{d y}{d x} para cada item a seguir:
x^{2}-x y^{2}+3 y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2} - x\,y^{2} + 3y = 1
e pede a derivada \frac{dy}{dx}. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e vamos precisar usar a regra do produto sempre que derivarmos um termo que envolva x e y(x).

Passo 2

Derivando cada termo em relação a x:
– A derivada de x^{2} é 2x.
– A derivada de -x\,y^{2} pela regra do produto é
-\bigl(1\cdot y^{2} + x\cdot 2y\,y'\bigr) = -y^{2} - 2x\,y\,y'.
– A derivada de 3y é 3y'.
– A derivada de 1 é 0.
Somando tudo e igualando a zero:
2x - y^{2} - 2x\,y\,y' + 3y' = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro, temos:
-2x\,y\,y' + 3y' = y^{2} - 2x.
Fatorando y' no lado esquerdo:
(3 - 2x\,y)\,y' = y^{2} - 2x.

Passo 4

Isolando y', obtemos:
y' = \frac{y^{2} - 2x}{3 - 2x\,y}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - 2x}{3 - 2x\,y}.

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