Em cada caso, escreva a função dada na forma de uma composta h(x)=y=f(g(x)), identificando a função u=g(x) e a função y=f(u). Em seguida, encontre a derivada de segunda ordem da função h(x)
(a) y=\exp (x \cos (x))
(b) y=e^{-3 x} \operatorname{sen}(3 x)
(c) y=e^{-2 x}
Passo 1
O enunciado pede, para cada função dada, que a escrevamos como uma função composta
h(x)=f\bigl(g(x)\bigr)
identificando u=g(x) e y=f(u), e em seguida que calculemos a derivada de segunda ordem h''(x).
O conteúdo principal envolve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, além da regra do produto no item (b).
Passo 2
(a) Identificação e primeira derivada
Podemos escrever
h(x)=\exp\bigl(x\cos x\bigr),
ou seja
g(x)=x\cos x, \quad f(u)=\exp(u).
Pela regra da cadeia,
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) =\exp\bigl(x\cos x\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x\bigr) =\exp\bigl(x\cos x\bigr)\bigl(\cos x - x\sin x\bigr).
Passo 3
(a) Segunda derivada
Para h'(x)=\exp(x\cos x)\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) aplicamos a regra do produto e a cadeia:
h''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\exp(x\cos x)\bigr]\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) +\exp(x\cos x)\,\frac{d}{dx}\bigl(\cos x - x\sin x\bigr).
Temos
\frac{d}{dx}\bigl[\exp(x\cos x)\bigr] =\exp(x\cos x)\,(\cos x - x\sin x),
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) =-\sin x-\bigl(\sin x + x\cos x\bigr) =-2\sin x - x\cos x.
Logo,
h''(x) =\exp(x\cos x)\Bigl[(\cos x - x\sin x)^2 + \bigl(-2\sin x - x\cos x\bigr)\Bigr].