Em cada caso, escreva a função dada na forma de uma composta h(x)=y=f(g(x)), identificando a função u=g(x) e a função y=f(u). Em seguida, encontre a derivada de segunda ordem da função h(x)
(a) y=\exp (x \cos (x))
(b) y=e^{-3 x} \operatorname{sen}(3 x)
(c) y=e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede, para cada função dada, que a escrevamos como uma função composta
h(x)=f\bigl(g(x)\bigr)
identificando u=g(x) e y=f(u), e em seguida que calculemos a derivada de segunda ordem h''(x).
O conteúdo principal envolve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, além da regra do produto no item (b).

Passo 2

(a) Identificação e primeira derivada
Podemos escrever
h(x)=\exp\bigl(x\cos x\bigr),
ou seja
g(x)=x\cos x, \quad f(u)=\exp(u).
Pela regra da cadeia,
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) =\exp\bigl(x\cos x\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x\bigr) =\exp\bigl(x\cos x\bigr)\bigl(\cos x - x\sin x\bigr).

Passo 3

(a) Segunda derivada
Para h'(x)=\exp(x\cos x)\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) aplicamos a regra do produto e a cadeia:
h''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\exp(x\cos x)\bigr]\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) +\exp(x\cos x)\,\frac{d}{dx}\bigl(\cos x - x\sin x\bigr).
Temos
\frac{d}{dx}\bigl[\exp(x\cos x)\bigr] =\exp(x\cos x)\,(\cos x - x\sin x),
\frac{d}{dx}\bigl(\cos x - x\sin x\bigr) =-\sin x-\bigl(\sin x + x\cos x\bigr) =-2\sin x - x\cos x.
Logo,
h''(x) =\exp(x\cos x)\Bigl[(\cos x - x\sin x)^2 + \bigl(-2\sin x - x\cos x\bigr)\Bigr].

Passo 4

(b) Identificação e primeira derivada
Escrevemos
h(x)=e^{-3x}\sin(3x) =\underbrace{\exp\bigl(-u\bigr)\,\sin(u)}_{f(u)}\quad\text{com}\quad u=3x,
ou seja
g(x)=3x, \quad f(u)=e^{-u}\sin(u).
Derivando por cadeia:
f'(u) =\frac{d}{du}\bigl[e^{-u}\sin u\bigr] =e^{-u}(\cos u - \sin u),
h'(x)=f'(3x)\cdot 3 =3\,e^{-3x}\bigl(\cos(3x)-\sin(3x)\bigr).

Passo 5

(b) Segunda derivada
Derivando
h'(x)=3\,e^{-3x}\bigl(\cos(3x)-\sin(3x)\bigr)
pela regra do produto e cadeia:
h''(x) =3\frac{d}{dx}\bigl[e^{-3x}\bigr]\bigl(\cos(3x)-\sin(3x)\bigr) +3\,e^{-3x}\frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)-\sin(3x)\bigr).
Como
\frac{d}{dx}e^{-3x}=-3e^{-3x}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)-\sin(3x)\bigr) =-3\sin(3x)-3\cos(3x),
segue
h''(x) =3\Bigl[-3e^{-3x}(\cos3x-\sin3x)+e^{-3x}(-3\sin3x-3\cos3x)\Bigr] =-18\,e^{-3x}\cos(3x).

Passo 6

(c) Identificação e derivadas
Temos
h(x)=e^{-2x}=\exp\bigl(-2x\bigr),
logo
g(x)=-2x, \quad f(u)=\exp(u).
As derivadas são imediatas pela cadeia:
h'(x)=\exp(-2x)\cdot(-2)=-2e^{-2x},
h''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[-2e^{-2x}\bigr] =-2\cdot(-2)e^{-2x}=4e^{-2x}.

Resposta

(a) u=x\cos x,\;f(u)=\exp(u).
h''(x)=\exp(x\cos x)\Bigl[(\cos x - x\sin x)^2 -2\sin x - x\cos x\Bigr].
(b) u=3x,\;f(u)=e^{-u}\sin(u).
h''(x)=-18\,e^{-3x}\cos(3x).
(c) u=-2x,\;f(u)=\exp(u).
h''(x)=4e^{-2x}.

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