Usando o Teorema da função implícita, encontre \frac{d y}{d x} para cada item a seguir:
\sqrt{x^{2}+x y^{2}}+\operatorname{sen}(y)=20

Passo 1

O enunciado dá a relação
\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}+\sin(y)=20
e pede \dfrac{dy}{dx} usando o Teorema da função implícita. Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x e depois isolar y'.

Passo 2

Diferenciando em x:
\frac{d}{dx}\Bigl(\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}\Bigr)\;+\;\frac{d}{dx}\bigl(\sin(y)\bigr)\;=\;\frac{d}{dx}(20).
Como 20 é constante, \tfrac{d}{dx}(20)=0.

Passo 3

Defina u = x^{2}+x\,y^{2}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{u}\bigr) = \frac{u'}{2\sqrt{u}}, \quad u' = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(x\,y^{2}) = 2x + \bigl(y^{2} + 2x\,y\,y'\bigr).
Logo
\frac{d}{dx}\Bigl(\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}\Bigr) = \frac{2x + y^{2} + 2x\,y\,y'}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}}.

Passo 4

A derivada de \sin(y) é \cos(y)\,y'. Substituindo tudo na igualdade, vem
\frac{2x + y^{2} + 2x\,y\,y'}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}} \;+\;\cos(y)\,y' \;=\;0.
Separe os termos com y':
\frac{2x + y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}} \;+\;\frac{2x\,y}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}}\,y' \;+\;\cos(y)\,y' =0.

Passo 5

Agrupando y' e isolando:
\frac{2x + y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}} \;+\;y'\Bigl(\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}} + \cos(y)\Bigr) =0
y'\Bigl(\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}} + \cos(y)\Bigr) = -\frac{2x + y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}}
y' = -\frac{\displaystyle\frac{2x + y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}}} {\displaystyle\frac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}} + \cos(y)} = -\frac{2x + y^{2}}{2\bigl(x\,y + \sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}\,\cos(y)\bigr)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y^{2}}{2\bigl(x\,y + \sqrt{x^{2}+x\,y^{2}}\cos(y)\bigr)}.

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