Usando a regra da cadeia, determine y^{\prime}, sendo:
y=\left(x^{2}+1\right)^{20}\left(x^{3}-2 x\right)^{-11}

Passo 1

O enunciado dá
y = (x^2+1)^{20}\,(x^3 - 2x)^{-11}
e pede y'. Para resolver isso vamos usar a regra do produto junto com a regra da cadeia, pois y é produto de duas funções compostas.

Passo 2

Seja
f(x) = (x^2+1)^{20}.
Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) = 20\,(x^2+1)^{19}\cdot \frac{d}{dx}(x^2+1) = 20\,(x^2+1)^{19}\cdot 2x = 40x\,(x^2+1)^{19}.

Passo 3

Seja
g(x) = (x^3 - 2x)^{-11}.
Usando a regra da cadeia,
g'(x) = -11\,(x^3 - 2x)^{-12}\cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 2x) = -11\,(x^3 - 2x)^{-12}\cdot (3x^2 - 2).

Passo 4

Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Substituindo f,f',g,g':
y' = \bigl[40x\,(x^2+1)^{19}\bigr]\,(x^3 - 2x)^{-11} \;+\;(x^2+1)^{20}\,\bigl[-11\,(x^3 - 2x)^{-12}(3x^2-2)\bigr].

Passo 5

Para simplificar, fatoramos (x^2+1)^{19}(x^3 - 2x)^{-12}:
y' = (x^2+1)^{19}(x^3 - 2x)^{-12}\Bigl[40x\,(x^3 - 2x) \;-\;11\,(3x^2-2)\,(x^2+1)\Bigr].

Resposta

y' = (x^2+1)^{19}\,(x^3 - 2x)^{-12}\,\Bigl[40x\,(x^3 - 2x) -11\,(3x^2-2)\,(x^2+1)\Bigr].

Exercícios relacionados