Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
252 e-50.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 252 e –50, além do número de divisores positivos de cada um. Vamos precisar fazer a fatoração prima de cada número e aplicar as fórmulas de MDC, MMC e contagem de divisores.

Passo 2

Vamos fatorar cada número em primos. Para 252 temos:
252 = 2^2 cdot 3^2 cdot 7
Para –50, desconsideramos o sinal para contar primos, pois os divisores positivos vêm da parte absoluta. Então:
50 = 2^1 cdot 5^2

Passo 3

Para calcular o MDC usamos potências com expoente mínimo em cada primo. Assim:
gcd(252,50) = 2^min(2,1) cdot 3^min(2,0) cdot 5^min(0,2) cdot 7^min(1,0) = 2^1 = 2

Passo 4

Para o MMC usamos potências com expoente máximo em cada primo. Logo:
lcm(252,50) = 2^max(2,1) cdot 3^max(2,0) cdot 5^max(0,2) cdot 7^max(1,0) = 2^2cdot3^2cdot5^2cdot7 = 6300

Passo 5

Para contar o número de divisores positivos de um número fatorado como n=prod pi^ai, usamos
d(n)=prod (ai+1)

Passo 6

Aplicando em 252 com expoentes 2,2,1:
d(252)=(2+1)(2+1)(1+1)=3cdot3cdot2=18,

Passo 7

E em 50 com expoentes 1,2:
d(50)=(1+1)(2+1)=2cdot3=6
Como –50 tem os mesmos divisores positivos de 50, ele também tem 6 divisores positivos.

Resposta

MDC(252,–50)=2; MMC(252,–50)=6300; número de divisores positivos de 252=18; de –50=6

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