Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
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Passo 1
O enunciado pede para usarmos o Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 252 e –50, além do número de divisores positivos de cada um. Vamos precisar fazer a fatoração prima de cada número e aplicar as fórmulas de MDC, MMC e contagem de divisores.
Passo 2
Vamos fatorar cada número em primos. Para 252 temos:
Para –50, desconsideramos o sinal para contar primos, pois os divisores positivos vêm da parte absoluta. Então:
Passo 3
Para calcular o MDC usamos potências com expoente mínimo em cada primo. Assim:
Passo 4
Para o MMC usamos potências com expoente máximo em cada primo. Logo:
Passo 5
Para contar o número de divisores positivos de um número fatorado como
, usamos
Passo 6
Aplicando em 252 com expoentes
:
Passo 7
E em 50 com expoentes
:
Como –50 tem os mesmos divisores positivos de 50, ele também tem 6 divisores positivos.
Resposta
MDC(252,–50)=2; MMC(252,–50)=6300; número de divisores positivos de 252=18; de –50=6