Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
200 e 480 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) de 200 e 480 usando o Teorema Fundamental da Aritmética, além de contar quantos divisores positivos cada número tem. Vamos precisar fatorar ambos em primos e usar regras de expoentes.

Passo 2

Primeiro fatoramos 200 e 480 em números primos:
200 = 2^3 cdot 5^2
480 = 2^5 cdot 3^1 cdot 5^1

Passo 3

Para achar o MDC pegamos, em cada primo, o menor expoente entre as duas fatorações:
gcd(200,480) = 2^min(3,5) cdot 3^min(0,1) cdot 5^min(2,1) = 2^3 cdot 3^0 cdot 5^1 = 8 cdot 5 = 40

Passo 4

Para achar o MMC pegamos, em cada primo, o maior expoente entre as duas fatorações:
lcm(200,480) = 2^max(3,5) cdot 3^max(0,1) cdot 5^max(2,1) = 2^5 cdot 3^1 cdot 5^2 = 32 cdot 3 cdot 25 = 2400

Passo 5

Para contar o número de divisores positivos usamos que, se
n = p1^a1,p2^a2cdots pk^ak,
então o número de divisores é
(a1+1)(a2+1)cdots(ak+1)
Aplicando em 200 e 480:
d(200) = (3+1)(2+1) = 4cdot3 = 12

Passo 6

d(480) = (5+1)(1+1)(1+1) = 6cdot2cdot2 = 24

Resposta

MDC(200,480)=40; MMC(200,480)=2400; 200 tem 12 divisores positivos; 480 tem 24 divisores positivos.

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