Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
456 e 780 .

Passo 1

O enunciado pede o máximo divisor comum (mdc), o mínimo múltiplo comum (mmc) e o número de divisores positivos de 456 e 780 usando o Teorema Fundamental da Aritmética, que se baseia na fatoração única em primos.

Passo 2

Fatoramos 456 dividindo por primos:
456÷2=228, 228÷2=114, 114÷2=57, 57÷3=19 e 19 é primo. Assim:
[456 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 19^1]

Passo 3

Fatoramos 780:
780÷2=390, 390÷2=195, 195÷3=65, 65÷5=13 e 13 é primo. Logo:
[780 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1]

Passo 4

Para o mdc, usamos os menores expoentes dos primos comuns (2 e 3):
[mdc(456,780) = 2^{\min(3,2)} \cdot 3^{\min(1,1)} = 2^2 \cdot 3^1 = 12]

Passo 5

Para o mmc, usamos os maiores expoentes de todos os primos envolvidos (2, 3, 5, 13, 19):
[mmc(456,780) = 2^{3} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 13^{1} \cdot 19^{1} = 29640]

Passo 6

Para contar divisores positivos, se
[n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}],
então o total de divisores é
[(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)].

Passo 7

Aplicando ao caso: para 456 (= 2^3cdot3^1cdot19^1) temos (3+1)(1+1)(1+1)=16 divisores; para 780 (= 2^2cdot3^1cdot5^1cdot13^1) temos (2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24 divisores.

Resposta

mdc(456,780) = 12; mmc(456,780) = 29640; número de divisores de 456 = 16; número de divisores de 780 = 24

Exercícios relacionados