Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum dos pares de números a seguir. Também, encontre o número de divisores positivos de cada um dos números:
456 e 780 .
456 e 780 .
Passo 1
O enunciado pede o máximo divisor comum (mdc), o mínimo múltiplo comum (mmc) e o número de divisores positivos de 456 e 780 usando o Teorema Fundamental da Aritmética, que se baseia na fatoração única em primos.
Passo 2
Fatoramos 456 dividindo por primos:
456÷2=228, 228÷2=114, 114÷2=57, 57÷3=19 e 19 é primo. Assim:
[456 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 19^1]
456÷2=228, 228÷2=114, 114÷2=57, 57÷3=19 e 19 é primo. Assim:
[456 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 19^1]
Passo 3
Fatoramos 780:
780÷2=390, 390÷2=195, 195÷3=65, 65÷5=13 e 13 é primo. Logo:
[780 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1]
780÷2=390, 390÷2=195, 195÷3=65, 65÷5=13 e 13 é primo. Logo:
[780 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1]
Passo 4
Para o mdc, usamos os menores expoentes dos primos comuns (2 e 3):
[mdc(456,780) = 2^{\min(3,2)} \cdot 3^{\min(1,1)} = 2^2 \cdot 3^1 = 12]
[mdc(456,780) = 2^{\min(3,2)} \cdot 3^{\min(1,1)} = 2^2 \cdot 3^1 = 12]
Passo 5
Para o mmc, usamos os maiores expoentes de todos os primos envolvidos (2, 3, 5, 13, 19):
[mmc(456,780) = 2^{3} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 13^{1} \cdot 19^{1} = 29640]
[mmc(456,780) = 2^{3} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 13^{1} \cdot 19^{1} = 29640]
Passo 6
Para contar divisores positivos, se
[n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}],
então o total de divisores é
[(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)].
[n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}],
então o total de divisores é
[(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)].
Passo 7
Aplicando ao caso: para 456 (=
) temos (3+1)(1+1)(1+1)=16 divisores; para 780 (=
) temos (2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24 divisores.
Resposta
mdc(456,780) = 12; mmc(456,780) = 29640; número de divisores de 456 = 16; número de divisores de 780 = 24