Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de
em relação a
, usando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (isto é, sem calcular a integral explicitamente). Informação relevante: o integrando é
e os limites de integração são constante inferior
e variável superior
.
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma prática que vamos usar):
Se
é contínua numa vizinhança de um ponto e
é um número fixo, defina
Então
é diferenciável e
Explicando passo a passo o que isso significa:
-
é a função integrando; aqui é a variável de integração. -
é o limite de integração fixo (no nosso caso ). -
é o limite superior variável; a integral acumula área de até . - A conclusão é: a taxa de variação dessa área acumulada em relação a
é exatamente o valor da altura do integrando no ponto , isto é, . - Importante: essa igualdade requer que
seja contínua no ponto considerado.
Passo 3
Motivo heurístico/rápido (uma “prova” útil para entender): usando definição de derivada,
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
entre
e
tal que
Logo a razão torna-se
e, quando
, tem-se
. Se
é contínua em
, então
e assim
. Isso explica por que avaliamos o integrando no limite superior.
Passo 4
Aplicando ao problema: aqui
. Primeiro verificação:
é contínua para todo
real porque
para todo
, logo não há divisão por zero nem descontinuidade.
Como o integral tem forma
com limite superior exatamente
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I temos diretamente
Substituindo
obtemos a derivada desejada.
Comentário útil para a prova: se o limite superior fosse uma função
(por exemplo
), então por regra da cadeia a derivada seria
. Exemplo rápido:
.