Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
r(x)=\int_{-1}^{x} \frac{t^{3}}{1+t^{4}} dt

Passo 1

O enunciado dá a função
r(x)=\int_{-1}^{x}\frac{t^{3}}{1+t^{4}}\,dt
e pede a derivada de r em relação a x, usando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (isto é, sem calcular a integral explicitamente). Informação relevante: o integrando é \dfrac{t^{3}}{1+t^{4}} e os limites de integração são constante inferior -1 e variável superior x.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma prática que vamos usar):
Se f é contínua numa vizinhança de um ponto e a é um número fixo, defina
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt.
Então F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
Explicando passo a passo o que isso significa:
  • f(t) é a função integrando; aqui t é a variável de integração.
  • a é o limite de integração fixo (no nosso caso a=-1).
  • x é o limite superior variável; a integral acumula área de t=a até t=x.
  • A conclusão é: a taxa de variação dessa área acumulada em relação a x é exatamente o valor da altura do integrando no ponto t=x, isto é, f(x).
  • Importante: essa igualdade requer que f seja contínua no ponto considerado.

Passo 3

Motivo heurístico/rápido (uma “prova” útil para entender): usando definição de derivada,
F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c entre x e x+h tal que
\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}\,h.
Logo a razão torna-se f\text{(c)} e, quando h\to 0, tem-se c\to x. Se f é contínua em x, então f\text{(c)}\to f(x) e assim F'(x)=f(x). Isso explica por que avaliamos o integrando no limite superior.

Passo 4

Aplicando ao problema: aqui f(t)=\dfrac{t^{3}}{1+t^{4}}. Primeiro verificação: f é contínua para todo t real porque 1+t^{4}>0 para todo t, logo não há divisão por zero nem descontinuidade.
Como o integral tem forma \int_{-1}^{x} f(t)\,dt com limite superior exatamente x, pelo Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I temos diretamente
r'(x)=f(x).
Substituindo f(x)=\dfrac{x^{3}}{1+x^{4}} obtemos a derivada desejada.
Comentário útil para a prova: se o limite superior fosse uma função g(x) (por exemplo \int_{-1}^{g(x)} f(t)\,dt), então por regra da cadeia a derivada seria f(g(x))\cdot g'(x). Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\!\left(\int_{-1}^{x^{2}} f(t)\,dt\right)=f(x^{2})\cdot 2x.

Resposta

r'(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{4}}

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