Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
s(x)=\int_{0}^{x} e^{2 t} \cos t dt

Passo 1

O enunciado dá a função
s(x)=\int_{0}^{x} e^{2 t}\cos t \, dt
e pede para calcular a derivada s'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I, isto é, sem calcular a integral explicitamente. Informações relevantes que temos:
  • A integranda é f(t)=e^{2t}\cos t.
  • O limite inferior da integral é 0 (constante) e o limite superior é x (a variável).
  • A pergunta é: qual é s'(x)?

Passo 2

Enunciando claramente o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma usada aqui):
Se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt com f contínua em um intervalo que contém a e x, então
F'(x)=f(x).
O que isso significa, em palavras simples: a derivada em relação a x da integral com limite superior x é simplesmente o valor da função integranda avaliada em t=x. Aqui t é a variável de integração (um “marcador” dentro da integral) e x é a variável externa com respeito à qual diferenciamos.

Passo 3

Por que isso vale? Uma explicação curta e didática, sem pular etapas: escrevendo a definição de derivada,
F'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt.
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais (ou pela continuidade de f), existe c entre x e x+h tal que
\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}\,h.
Ao dividir por h e fazer h\to0, como c\to x e f é contínua, obtemos
F'(x)=\lim_{h\to0} f\text{(c)}=f(x).
Essa é a razão prática: a “pequena” área adicionada ao aumentar o limite superior por h é aproximadamente f(x)\cdot h, logo a taxa de variação é f(x).

Passo 4

Regra extra útil (caso surja em outras questões): se o limite superior for uma função g(x), ou seja G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, então por cadeia a derivada é
G'(x)=f(g(x))\,g'(x).
Aqui se usa o mesmo teorema e depois a regra da cadeia porque a variável externa aparece dentro do limite superior.

Passo 5

Aplicando ao caso dado: identificamos f(t)=e^{2t}\cos t. A função f é produto de funções exponencial e cosseno, ambas contínuas em \mathbb{R}; portanto f é contínua e o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I se aplica diretamente.

Passo 6

Concluímos, usando o teorema (limite superior é justamente x, sem necessidade de regra da cadeia extra), que
s'(x)=f(x)=e^{2x}\cos x.

Resposta

s'(x)=e^{2x}\cos x

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