Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
usando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I, isto é, sem calcular a integral explicitamente. Informações relevantes que temos:
- A integranda é
. - O limite inferior da integral é
(constante) e o limite superior é (a variável). - A pergunta é: qual é
?
Passo 2
Enunciando claramente o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma usada aqui):
Se com
contínua em um intervalo que contém
e
, então
Se
O que isso significa, em palavras simples: a derivada em relação a
da integral com limite superior
é simplesmente o valor da função integranda avaliada em
. Aqui
é a variável de integração (um “marcador” dentro da integral) e
é a variável externa com respeito à qual diferenciamos.
Passo 3
Por que isso vale? Uma explicação curta e didática, sem pular etapas: escrevendo a definição de derivada,
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais (ou pela continuidade de
), existe
entre
e
tal que
Ao dividir por
e fazer
, como
e
é contínua, obtemos
Essa é a razão prática: a “pequena” área adicionada ao aumentar o limite superior por
é aproximadamente
, logo a taxa de variação é
.
Passo 4
Regra extra útil (caso surja em outras questões): se o limite superior for uma função
, ou seja
, então por cadeia a derivada é
Aqui se usa o mesmo teorema e depois a regra da cadeia porque a variável externa aparece dentro do limite superior.
Passo 5
Aplicando ao caso dado: identificamos
. A função
é produto de funções exponencial e cosseno, ambas contínuas em
; portanto
é contínua e o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I se aplica diretamente.
Passo 6
Concluímos, usando o teorema (limite superior é justamente
, sem necessidade de regra da cadeia extra), que