Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a integranda é . A variável de integração é
e a variável independente é
. A integral tem como limite inferior
(constante) e limite superior
(variável). A tarefa é usar o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I — para obter
sem calcular a integral explicitamente.
Informações dadas: a integranda é
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (versão que usamos): se
e
é contínua num intervalo que contém
e
, então
Explicando em palavras: quando a integral tem o limite superior igual a
, a derivada da integral em relação a
é simplesmente o valor da integranda avaliada em
, desde que a integranda seja contínua no ponto considerado. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função “acumulada” definida pela integral. -
é um ponto fixo (limite inferior). -
é a função integranda dependente de . -
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Verificar as hipóteses: precisamos que
seja contínua no intervalo que contém
e o ponto
onde queremos derivar. Observações úteis sobre
:
- Para
, a função é uma razão de funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua. - Em
há uma descontinuidade aparente, mas o limite existe:
portanto
tem uma descontinuidade removível em
(se definíssemos
ela ficaria contínua em
).
Conclusão prática: para qualquer tal que o intervalo entre
e
não passe por um ponto onde
não esteja definida, podemos aplicar o teorema diretamente. Como
, para todos os
a função
é contínua ao longo do caminho entre
e
. Se quisermos incluir
, será necessário tratar esse ponto à parte (ver próximo passo).
Conclusão prática: para qualquer
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I aos pontos
(em particular a todos
): como a integral tem limite superior
e o integrando é contínuo no ponto
, temos diretamente
Intuição rápida: ao aumentar
um pouco, a integral ganha aproximadamente a área de uma faixa estreita de altura
e largura
, então a taxa de variação é
.
Passo 5
Tratamento do caso
(porque a fórmula
dá forma indeterminada em
): vamos mostrar que
é diferenciável em
e calcular
pela definição da derivada. Por definição,
onde usamos que
e
é constante (logo cancela). Pela versão do Teorema do Valor Médio para integrais contínuas, existe
entre
e
tal que
Dividindo por
e fazendo
obtemos
Portanto
. (Essa manipulação é justificada porque
tem limite
em
.)
Passo 6
Resumo final do raciocínio: para
aplicamos diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I e obtemos
. No ponto
a expressão tem forma indeterminada, mas tomando limite ou usando o Teorema do Valor Médio para integrais chegamos a
, que coincide com o valor-limite
.