Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
y=\int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\displaystyle y=\int_{3}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Informações dadas: a integranda é \displaystyle \frac{\sin t}{t}. A variável de integração é t e a variável independente é x. A integral tem como limite inferior 3 (constante) e limite superior x (variável). A tarefa é usar o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I — para obter y'(x) sem calcular a integral explicitamente.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (versão que usamos): se F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt e f é contínua num intervalo que contém a e x, então
F'(x)=f(x).
Explicando em palavras: quando a integral tem o limite superior igual a x, a derivada da integral em relação a x é simplesmente o valor da integranda avaliada em t=x, desde que a integranda seja contínua no ponto considerado. Aqui cada símbolo significa:
  • F(x) é a função “acumulada” definida pela integral.
  • a é um ponto fixo (limite inferior).
  • f(t) é a função integranda dependente de t.
  • F'(x) é a derivada de F em relação a x.

Passo 3

Verificar as hipóteses: precisamos que f(t)=\dfrac{\sin t}{t} seja contínua no intervalo que contém 3 e o ponto x onde queremos derivar. Observações úteis sobre f:
  • Para t\neq 0, a função \dfrac{\sin t}{t} é uma razão de funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua.
  • Em t=0 há uma descontinuidade aparente, mas o limite existe:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
portanto f tem uma descontinuidade removível em 0 (se definíssemos f(0)=1 ela ficaria contínua em 0).
Conclusão prática: para qualquer x tal que o intervalo entre 3 e x não passe por um ponto onde f não esteja definida, podemos aplicar o teorema diretamente. Como 3>0, para todos os x>0 a função f é contínua ao longo do caminho entre 3 e x. Se quisermos incluir x=0, será necessário tratar esse ponto à parte (ver próximo passo).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I aos pontos x\neq 0 (em particular a todos x>0): como a integral tem limite superior x e o integrando é contínuo no ponto x, temos diretamente
y'(x)=\frac{\sin x}{x}\qquad\text{para }x\neq 0.
Intuição rápida: ao aumentar x um pouco, a integral ganha aproximadamente a área de uma faixa estreita de altura f(x) e largura dx, então a taxa de variação é f(x).

Passo 5

Tratamento do caso x=0 (porque a fórmula \dfrac{\sin x}{x} dá forma indeterminada em 0): vamos mostrar que y é diferenciável em 0 e calcular y'(0) pela definição da derivada. Por definição,
y'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{y(h)-y(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{3}^{h}\frac{\sin t}{t}\,dt =\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\frac{\sin t}{t}\,dt,
onde usamos que \int_{3}^{h}=\int_{3}^{0}+\int_{0}^{h} e \int_{3}^{0} é constante (logo cancela). Pela versão do Teorema do Valor Médio para integrais contínuas, existe c entre 0 e h tal que
\int_{0}^{h}\frac{\sin t}{t}\,dt=\frac{\sin c}{c}\,h.
Dividindo por h e fazendo h\to 0 obtemos
y'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin c}{c}=\frac{\sin 0}{0}\\ \text{no sentido do limite}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Portanto y'(0)=1. (Essa manipulação é justificada porque \dfrac{\sin t}{t} tem limite 1 em 0.)

Passo 6

Resumo final do raciocínio: para x\neq 0 aplicamos diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I e obtemos y'(x)=\dfrac{\sin x}{x}. No ponto x=0 a expressão tem forma indeterminada, mas tomando limite ou usando o Teorema do Valor Médio para integrais chegamos a y'(0)=1, que coincide com o valor-limite \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}.

Resposta

y'(x)=\dfrac{\sin x}{x} para x\neq 0.
y'(0)=1.

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