Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
p(x)=\int_{1}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) dt

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
p(x)=\int_{1}^{x}\ln\!\bigl(1+t^{2}\bigr)\,dt
e pede para calcular a derivada de p em função de x, ou seja, encontrar p'(x). O integrando usa a variável de integração t e os limites da integral são constantes em 1 (inferior) e x (superior).

Passo 2

Vou lembrar uma versão útil do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I, e explicar cada símbolo:
\text{Se }F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt\quad\text{e }f\text{ é contínua em um intervalo que contém }a\text{ e }x,éíé
então
F'(x)=f(x).
Aqui:
  • a é um número fixo (limite inferior),
  • x é a variável (limite superior),
  • t é a variável de integração que aparece dentro da integral,
  • f(t) é a função integranda, e
  • a conclusão significa que a derivada da função definida pela integral é simplesmente a função integranda avaliada no ponto t=x.
A condição de continuidade de f é importante porque garante que a integral define uma função diferenciável e o limite que define a derivada existe.

Passo 3

Identifico a função integranda do problema:
f(t)=\ln\!\bigl(1+t^{2}\bigr).
Preciso verificar se f é contínua no intervalo considerado. Observações:
  • Para todo t\in\mathbb{R} vale 1+t^{2}>0, então o argumento do logaritmo é positivo e \ln(1+t^{2}) está bem definido;
  • A função t\mapsto 1+t^{2} é um polinômio (portanto contínua) e a função \ln(u) é contínua para u>0; a composição de funções contínuas é contínua.
Conclusão: f(t)=\ln(1+t^{2}) é contínua para todo t\in\mathbb{R}, então a hipótese do teorema está satisfeita.

Passo 4

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I ao caso p(x)=\int_{1}^{x} f(t)\,dt com f(t)=\ln(1+t^{2}). Pelo teorema, a derivada p'(x) é igual à função integranda avaliada em t=x, isto é, p'(x)=f(x).

Passo 5

Para consolidar a ideia, uma breve intuição via quociente de diferença: para h pequeno
\frac{p(x+h)-p(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\!f(t)\,dt.
Como f é contínua, para t próximo de x temos f(t)\approx f(x), então a integral na direita é aproximadamente f(x)\,h. Dividindo por h e fazendo h\to 0 obtém-se \lim_{h\to 0}\dfrac{p(x+h)-p(x)}{h}=f(x), que é exatamente o conteúdo do teorema usado antes.

Passo 6

Comentário prático rápido (útil na prova): se o limite superior não fosse x mas uma função g(x), por exemplo q(x)=\int_{1}^{g(x)} f(t)\,dt, então pela regra da cadeia a derivada seria q'(x)=f(g(x))\cdot g'(x). Isso ajuda a reconhecer variações do mesmo tipo de problema.

Resposta

p'(x)=\ln\!\bigl(1+x^{2}\bigr)

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