Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função definida por
e pede para calcular a derivada de
em função de
, ou seja, encontrar
. O integrando usa a variável de integração
e os limites da integral são constantes em
(inferior) e
(superior).
Passo 2
Vou lembrar uma versão útil do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I, e explicar cada símbolo:
então
Aqui:
-
é um número fixo (limite inferior), -
é a variável (limite superior), -
é a variável de integração que aparece dentro da integral, -
é a função integranda, e - a conclusão significa que a derivada da função definida pela integral é simplesmente a função integranda avaliada no ponto
.
A condição de continuidade de
é importante porque garante que a integral define uma função diferenciável e o limite que define a derivada existe.
Passo 3
Identifico a função integranda do problema:
Preciso verificar se
é contínua no intervalo considerado. Observações:
- Para todo
vale , então o argumento do logaritmo é positivo e está bem definido; - A função
é um polinômio (portanto contínua) e a função é contínua para ; a composição de funções contínuas é contínua.
Conclusão:
é contínua para todo
, então a hipótese do teorema está satisfeita.
Passo 4
Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I ao caso
com
. Pelo teorema, a derivada
é igual à função integranda avaliada em
, isto é,
.
Passo 5
Para consolidar a ideia, uma breve intuição via quociente de diferença: para
pequeno
Como
é contínua, para
próximo de
temos
, então a integral na direita é aproximadamente
. Dividindo por
e fazendo
obtém-se
, que é exatamente o conteúdo do teorema usado antes.
Passo 6
Comentário prático rápido (útil na prova): se o limite superior não fosse
mas uma função
, por exemplo
, então pela regra da cadeia a derivada seria
. Isso ajuda a reconhecer variações do mesmo tipo de problema.