Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
h(x)=\int_{0}^{x} t \cos t dt

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (vou listar certinho para a gente não se perder):
  • A função dada é h(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} t\cos t \, dt.
  • Aqui t é a variável de integração (uma variável “dummy”) e x é a variável independente, que aparece como limite superior da integral.
  • O que se pede: calcular a derivada h'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (ou seja, sem calcular a integral indefinida).

Passo 2

Enunciando claramente o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma que vamos usar):
Se f é contínua numa vizinhança de um ponto x, então a função
H(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável nesse ponto e vale
H'(x)=f(x).
Explicando as partes dessa fórmula:
  • f(t) é a função integrando (a “altura” da área sob a curva).
  • a é uma constante (limite inferior fixo).
  • x é o limite superior variável.
  • A conclusão diz: a derivada da integral de a até x é simplesmente o integrando avaliado em x.
Intuição rápida e amigável: se H(x) mede a área acumulada até x, a velocidade com que essa área cresce quando x aumenta é exatamente a altura da função naquele ponto.

Passo 3

Verificar as hipóteses do teorema para o nosso caso:
  • No problema, o integrando é f(t)=t\cos t.
  • A função t\cos t é produto de funções contínuas ( t e \cos t), logo é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas para todo x.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso h(x):
  • Como h(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt com f(t)=t\cos t e f é contínua, o teorema garante que h é diferenciável e
h'(x)=f(x),
ou seja, a derivada é o integrando avaliado no ponto x.

Passo 5

Se quiser ver por que isso funciona (uma justificativa via limite / Teorema do Valor Médio para integrais, só para fixeza):
  • Definindo \Delta x pequeno, pela aditividade da integral
h(x+\Delta x)-h(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} t\cos t\,dt.
  • Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c\in[x,x+\Delta x] tal que
\int_{x}^{x+\Delta x} t\cos t\,dt = (c\cos c)\,\Delta x.
  • Dividindo por \Delta x e passando ao limite \Delta x\to 0, c\to x e obtemos
h'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}=x\cos x.
Essa é a razão formal da igualdade do Passo 4 (a ideia do f\text{(c)}\Delta x que converge para f(x)).

Passo 6

Dica extra útil para a prova (pra você decorar de leve):
  • Se o limite superior fosse uma função g(x) em vez de x (isto é, H(x)=\int_{0}^{g(x)} f(t)\,dt), então pela regra da cadeia
H'(x)=f\big(g(x)\big)\,g'(x).
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\!\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} t\cos t\,dt = (x^{2}\cos x^{2})\cdot 2x.
Força aí — você já tem a regra na ponta da língua: derivada da integral com limite superior x = integrando avaliado em x.

Resposta

x\cos x

Exercícios relacionados