Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (vou listar certinho para a gente não se perder):
- A função dada é
. - Aqui
é a variável de integração (uma variável “dummy”) e é a variável independente, que aparece como limite superior da integral. - O que se pede: calcular a derivada
usando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (ou seja, sem calcular a integral indefinida).
Passo 2
Enunciando claramente o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma que vamos usar):
Se
é contínua numa vizinhança de um ponto
, então a função
é diferenciável nesse ponto e vale
Explicando as partes dessa fórmula:
-
é a função integrando (a “altura” da área sob a curva). -
é uma constante (limite inferior fixo). -
é o limite superior variável. - A conclusão diz: a derivada da integral de
até é simplesmente o integrando avaliado em .
Intuição rápida e amigável: se
mede a área acumulada até
, a velocidade com que essa área cresce quando
aumenta é exatamente a altura da função naquele ponto.
Passo 3
Verificar as hipóteses do teorema para o nosso caso:
- No problema, o integrando é
. - A função
é produto de funções contínuas ( e ), logo é contínua para todo . - Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas para todo
.
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso
:
- Como
com e é contínua, o teorema garante que é diferenciável e
ou seja, a derivada é o integrando avaliado no ponto
.
Passo 5
Se quiser ver por que isso funciona (uma justificativa via limite / Teorema do Valor Médio para integrais, só para fixeza):
- Definindo
pequeno, pela aditividade da integral
- Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
tal que
- Dividindo por
e passando ao limite , e obtemos
Essa é a razão formal da igualdade do Passo 4 (a ideia do
que converge para
).
Passo 6
Dica extra útil para a prova (pra você decorar de leve):
- Se o limite superior fosse uma função
em vez de (isto é, ), então pela regra da cadeia
Exemplo rápido:
.
Força aí — você já tem a regra na ponta da língua: derivada da integral com limite superior
= integrando avaliado em
.