Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é a soma de três parcelas:
,
e
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é essa integranda), mais uma constante de integração.
Passo 2
Regra fundamental que vamos usar: a integral é linear, então podemos somar integrais das parcelas. Isto significa que
Separar assim facilita muito: resolvemos cada integral simples e somamos os resultados.
Passo 3
Integral da primeira parcela
.
Fórmula que usamos: para
,
Aqui
, então
Explicando: essa fórmula vem de inverter a derivação
.
Passo 4
Integral da segunda parcela
.
Isto é direto: a primitiva de
é
, pois
. Logo
Passo 5
Integral da terceira parcela
.
Fato importante (fórmula padrão): a primitiva de
é
, porque
Portanto
Se quiser, pense na derivada do arco-tangente ou memorize essa primitiva como uso frequente em integrais.
Passo 6
Somando as primitivas obtidas nas etapas anteriores e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando o resultado
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.