Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é a soma de três parcelas: \,x^{2}, 1 e \dfrac{1}{x^{2}+1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é essa integranda), mais uma constante de integração.

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar: a integral é linear, então podemos somar integrais das parcelas. Isto significa que
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int x^{2}\,dx+\int 1\,dx+\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Separar assim facilita muito: resolvemos cada integral simples e somamos os resultados.

Passo 3

Integral da primeira parcela \int x^{2}\,dx.
Fórmula que usamos: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Explicando: essa fórmula vem de inverter a derivação d/dx\,(x^{n+1}/(n+1))=x^{n}.

Passo 4

Integral da segunda parcela \int 1\,dx.
Isto é direto: a primitiva de 1 é x, pois \dfrac{d}{dx}(x)=1. Logo
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Integral da terceira parcela \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Fato importante (fórmula padrão): a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x, porque
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x.
Se quiser, pense na derivada do arco-tangente ou memorize essa primitiva como uso frequente em integrais.

Passo 6

Somando as primitivas obtidas nas etapas anteriores e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x+\arctan x + C.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando o resultado
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}+x+\arctan x\right)=x^{2}+1+\frac{1}{1+x^{2}},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+x+\arctan x + C

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