Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A integral é definida com limite inferior
e limite superior . - A variável de integração é
; essa é uma variável “dummy” (só aparece dentro da integral). - O que se pede é a derivada da função que tem a integral como definição, ou seja, a taxa de variação em relação a
.
Passo 2
Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma que vamos usar):
Se é definida por
Se
e
é contínua num intervalo contendo
e
, então
é diferenciável nesse intervalo e
Explicação do que cada símbolo significa:
-
é um número fixo (limite inferior da integral). -
é a função integranda, depende da variável . -
é a função cuja definição envolve a integral com limite superior . - A conclusão diz que a derivada de
em é simplesmente o valor da integranda avaliada em , ou seja .
Intuição rápida e prática: a variação infinitesimal de uma integral cujo limite superior varia é dada pela altura da integranda naquele ponto — a área adicionada ao aumentarpor uma pequena quantidade é aproximadamente .
Passo 3
Verificar as hipóteses do teorema para o nosso caso:
- A integranda é
. - Para todo
tem-se , e a raiz quadrada é uma função contínua quando a entrada é positiva. Logo é contínua em todo . - Portanto as hipóteses do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I estão satisfeitas para a integral com limite inferior
e limite superior .
Passo 4
Aplicar o teorema diretamente ao problema. Se definirmos
, pelo teorema temos
No enunciado a função chama-se
, então concluímos que
Aqui deixei claro que a variável de integração
é apenas um marcador; quando derivamos, substituímos
por
na integranda.
Passo 5
Comentário extra útil para a prova (não obrigatório aqui, mas prático): se o limite superior fosse uma função
em vez de
, ou seja
então usaríamos a regra da cadeia combinada com o teorema e obteríamos
Isso é bom lembrar porque às vezes aparecem limites superiores dependentes de
.