Usando o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I (isto é, sem calcular as integrais), calcule a derivada das funções dadas abaixo:
f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{t^{2}+1} dt

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{t^{2}+1}\,dt
e pede para calcular a derivada f'(x). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A integral é definida com limite inferior 1 e limite superior x.
  • A variável de integração é t; essa é uma variável “dummy” (só aparece dentro da integral).
  • O que se pede é a derivada da função que tem a integral como definição, ou seja, a taxa de variação em relação a x.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma que vamos usar):
Se F é definida por
F(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt
e g é contínua num intervalo contendo a e x, então F é diferenciável nesse intervalo e
F'(x)=g(x).
Explicação do que cada símbolo significa:
  • a é um número fixo (limite inferior da integral).
  • g(t) é a função integranda, depende da variável t.
  • F(x) é a função cuja definição envolve a integral com limite superior x.
  • A conclusão diz que a derivada de F em x é simplesmente o valor da integranda avaliada em t=x, ou seja g(x).
    Intuição rápida e prática: a variação infinitesimal de uma integral cujo limite superior varia é dada pela altura da integranda naquele ponto — a área adicionada ao aumentar x por uma pequena quantidade é aproximadamente g(x)\,dx.

Passo 3

Verificar as hipóteses do teorema para o nosso caso:
  • A integranda é g(t)=\sqrt{t^{2}+1}.
  • Para todo t\in\mathbb{R} tem-se t^{2}+1>0, e a raiz quadrada é uma função contínua quando a entrada é positiva. Logo g é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Portanto as hipóteses do Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I estão satisfeitas para a integral com limite inferior 1 e limite superior x.

Passo 4

Aplicar o teorema diretamente ao problema. Se definirmos F(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{t^{2}+1}\,dt, pelo teorema temos
F'(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
No enunciado a função chama-se f, então concluímos que
f'(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
Aqui deixei claro que a variável de integração t é apenas um marcador; quando derivamos, substituímos t por x na integranda.

Passo 5

Comentário extra útil para a prova (não obrigatório aqui, mas prático): se o limite superior fosse uma função u(x) em vez de x, ou seja
F(x)=\int_{1}^{u(x)} \sqrt{t^{2}+1}\,dt,
então usaríamos a regra da cadeia combinada com o teorema e obteríamos
F'(x)=\sqrt{(u(x))^{2}+1}\cdot u'(x).
Isso é bom lembrar porque às vezes aparecem limites superiores dependentes de x.

Resposta

f'(x)=\sqrt{x^{2}+1}

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