Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa calcular a integral de linha
ao redor da fronteira
da região
, no sentido anti-horário. A região
é dada por
, e o campo vetorial é
com
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green (que liga integral de linha a integral dupla do rotacional) e a noção de campo conservativo.
Passo 2
Para converter a integral de linha em uma integral dupla, usamos o Teorema de Green:
No nosso caso, como
Passo 3
Como
é de classe
, vale a igualdade de derivadas mistas, ou seja,
. Logo
Portanto,
Passo 4
Pelo Teorema de Green, concluímos que a integral de linha
é zero.
Resposta
0