Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular a integral de linha ointC vec Fcdot dvec r ao redor da fronteira C da região R, no sentido anti-horário. A região R é dada por 1<= y<= 2-x^2, e o campo vetorial é vec F=nablaphi com phi(x,y)=x^3cos^2(xy). O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green (que liga integral de linha a integral dupla do rotacional) e a noção de campo conservativo.

Passo 2

Para converter a integral de linha em uma integral dupla, usamos o Teorema de Green:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
No nosso caso, como vec F=nablaphi, temos P=partialphipartial x e Q=partialphipartial y. Então
partial Qpartial x = partialpartial xl(partialphipartial yr) = partial^2phipartial xpartial y,
partial Ppartial y = partialpartial yl(partialphipartial xr) = partial^2phipartial ypartial x

Passo 3

Como phi é de classe C^2, vale a igualdade de derivadas mistas, ou seja, partial^2phi/partial xpartial y=partial^2phi/partial ypartial x. Logo
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0
Portanto,
integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA = integral duplaR 0,dA = 0

Passo 4

Pelo Teorema de Green, concluímos que a integral de linha ointC vec Fcdot dvec r é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados