Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
\left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\} da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n},
uma fórmula geral para s_n em função de n e, por fim, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é soma de progressão geométrica e teste de convergência de séries geométricas.

Passo 2

Vamos primeiro calcular termo a termo:
a_n = \frac{2^{n-1}}{3^n}.
Então
s_1 = a_1 = \frac{2^{0}}{3^1} = \frac{1}{3},
s_2 = a_1 + a_2 = \frac{1}{3} + \frac{2^{1}}{3^2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9},
s_3 = s_2 + a_3 = \frac{5}{9} + \frac{2^{2}}{3^3} = \frac{5}{9} + \frac{4}{27} = \frac{15}{27} + \frac{4}{27} = \frac{19}{27},
s_4 = s_3 + a_4 = \frac{19}{27} + \frac{2^{3}}{3^4} = \frac{19}{27} + \frac{8}{81} = \frac{57}{81} + \frac{8}{81} = \frac{65}{81}.

Passo 3

Observamos que \{a_n\} é uma progressão geométrica de razão
r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^n/3^{n+1}}{2^{n-1}/3^n} = \frac{2}{3},
e primeiro termo
a_1 = \frac{1}{3}.
A soma dos n primeiros termos de uma série geométrica é
s_n = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}.
Substituindo a_1 = \tfrac{1}{3} e r = \tfrac{2}{3}, obtemos
s_n = \frac{1}{3}\,\frac{1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}{1 - \tfrac{2}{3}} = \frac{1}{3}\,\frac{1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}{\tfrac{1}{3}} = 1 - \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Para verificar a convergência da série infinita, tomamos o limite de s_n quando n \to \infty. Como \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n \to 0, temos
\lim_{n\to\infty} s_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl[1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n}\Bigr] = 1 - 0 = 1.
Portanto, a série converge e sua soma é 1.

Resposta

Os quatro primeiros elementos são
s_1 = \frac{1}{3},\quad s_2 = \frac{5}{9},\quad s_3 = \frac{19}{27},\quad s_4 = \frac{65}{81}.
A fórmula geral é
s_n = 1 - \Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.
A série infinita converge, e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n} = 1.

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