Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
\left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para
em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
\left{s_{n}\right}, e obtenha uma fórmula para
Passo 1
O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
da série
uma fórmula geral para
em função de
e, por fim, verificar se a série converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é soma de progressão geométrica e teste de convergência de séries geométricas.
Passo 2
Vamos primeiro calcular termo a termo:
Então
Passo 3
Observamos que
é uma progressão geométrica de razão
e primeiro termo
A soma dos
primeiros termos de uma série geométrica é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Para verificar a convergência da série infinita, tomamos o limite de
quando
. Como
, temos
Portanto, a série converge e sua soma é
.
Resposta
Os quatro primeiros elementos são
A fórmula geral é
A série infinita converge, e sua soma é