Usando o Teorema de Lagrange prove a seguinte desigualdade:
12 raizn+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma desigualdade envolvendo raízes quadradas usando o Teorema de Lagrange. Ou seja, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o Teorema de Valor Médio (que também é conhecido como Teorema de Lagrange). Para resolver isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e aplicá-lo à função que envolve as raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio). Ele diz que se uma função f'(c) = f(b) - f(a)b - a é contínua no intervalo e diferenciável no interior desse intervalo , então existe pelo menos um ponto em onde:
Esse teorema vai nos ajudar a relacionar a diferença das funções nos pontos e com a derivada da função em algum ponto entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Lagrange à função no intervalo , onde é um número natural.
Primeiro, verificamos se é contínua e diferenciável nesse intervalo:
  • é contínua para .
  • é diferenciável para .
Como é natural, , então atende as condições do teorema.

Passo 4

Segundo o Teorema de Lagrange, existe um ponto f'(c) = f(n+1) - f(n)(n+1) - n = raizn+1 - raizn em f'(x) = 12raizx tal que:
12raizc = raizn+1 - raizn
Calculando a derivada de :
Então:

Passo 5

Agora, sabemos que 12raizn+1 < 12raizc < 12raizn está entre 12raizn+1 < raizn+1 - raizn < 12raizn e , ou seja, . Como está no denominador, menores valores de aumentam e maiores valores diminuem.
Então temos:
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

Portanto, utilizando o Teorema de Lagrange, provamos que:
12 raizn+1 < raizn+1 - raizn < 12 raizn, forall n in N

Exercícios relacionados