Usando o Teorema de Lagrange prove a seguinte desigualdade:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma desigualdade envolvendo raízes quadradas usando o Teorema de Lagrange. Ou seja, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com o Teorema de Valor Médio (que também é conhecido como Teorema de Lagrange). Para resolver isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e aplicá-lo à função que envolve as raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio). Ele diz que se uma função
é contínua no intervalo
e diferenciável no interior desse intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
onde:
Esse teorema vai nos ajudar a relacionar a diferença das funções nos pontos
e
com a derivada da função em algum ponto entre eles.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Lagrange à função
no intervalo
, onde
é um número natural.
Primeiro, verificamos se
é contínua e diferenciável nesse intervalo:
-
é contínua para . -
é diferenciável para .
Como
é natural,
, então
atende as condições do teorema.
Passo 4
Segundo o Teorema de Lagrange, existe um ponto
em
tal que:
Calculando a derivada de
:
Então:
Passo 5
Agora, sabemos que
está entre
e
, ou seja,
. Como
está no denominador, menores valores de
aumentam
e maiores valores diminuem.
Então temos:
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
Portanto, utilizando o Teorema de Lagrange, provamos que: