Usando o Teorema de Lagrange prove a seguinte desigualdade:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
para todo
usando o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio). Vamos trabalhar com funções deriváveis e contínuas para aplicar esse teorema no intervalo
.
Passo 2
Definimos a função
, que é contínua em
e diferenciável em
para
. Pelo Teorema de Lagrange existe algum
tal que
Passo 3
Como
e
, isso vira
Passo 4
Agora, como
temos
, o que implica
Passo 5
Multiplicando essa cadeia por
(já que
) obtemos
Passo 6
Mas
, logo
Resposta
A desigualdade
vale para todo
, conforme desejado.