Usando o Teorema de Lagrange prove a seguinte desigualdade:
x-1x1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que tfracx-1x para todo x>1 usando o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio). Vamos trabalhar com funções deriváveis e contínuas para aplicar esse teorema no intervalo [1,x].

Passo 2

Definimos a função f(t)=ln(t), que é contínua em [1,x] e diferenciável em (1,x) para x>1. Pelo Teorema de Lagrange existe algum cin(1,x) tal que
f(x)-f(1)=f'(c),(x-1)

Passo 3

Como f(1)=ln(1)=0 e f'(t)=1/t, isso vira
ln(x)=1c,(x-1)

Passo 4

Agora, como cin(1,x) temos 1, o que implica
1x<1c<1

Passo 5

Multiplicando essa cadeia por x-1>0 (já que x>1) obtemos
x-1x

Passo 6

Mas x-1c=ln(x), logo
x-1x

Resposta

A desigualdade tfracx-1x vale para todo x>1, conforme desejado.

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